Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \Omega=[0,3]}\) i niech P będzie unormowaną miarą Lebesgue'a na \(\displaystyle{ \Omega}\). Wyznaczyć rozkład, wartość oczekiwaną i wariancję następującej zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ X(\omega)= \begin{cases} 2\omega +1, \\ - \omega^{2}+2, \\ 3, \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases{cases}} 0 \le \omega \le 1 \\ 1 < \omega < 2 \\ 2 \le \omega \le 3 \end{cases{cases}}}\)

Z wartością oczekiwaną i wariancją nie będzie raczej problemu, chodzi mi głównie o wyznaczenie rozkładu. Próbowałem najpierw przerobić to na dystrybuantę, a potem potraktować pochodną, jednak jak na razie bez większych efektów. Prosiłbym o objaśnienie tego zagadnienia.

Dobrze próbowałeś. Mi dystrybuanta wyszła taka:
\(\displaystyle{ F(t)= \begin{cases} 0\ \ \ \ t \le -2 \\ \frac{1}{3}(2-\sqrt{2-t}) \ \ t \in (-2,1) \\ \frac{1}{3} \left(1+ \frac{t-1}{2} \right) \ \ t \in [1,3] \\ 1 \ \ \ \ t>3 \end{cases}}\)

Chyba minimalny błąd się wkradł dla \(\displaystyle{ t \in (-2,1)}\). Nie ma tam nigdzie zmiennej t, a nie wydaje mi się żeby to była stała w tym miejscu. I czy możesz podać tok rozumowania jak obliczyć wartości tej dystrybuanty dla poszczególnych przedziałów?

Tak, już poprawiłem, dzięki
Jak mamy taką przyjazną miarę jak miarę Lebesgue'a, to łatwo znaleźc dystrybuantę, bo
\(\displaystyle{ F(t)=P(X<t)=\lambda \left( \{ \omega:\ X( \omega) \in (- \infty, t) \} \right)}\) czyli wystarczy znaleźć długości przeciwobrazów (odcinków) zbiorów postaci \(\displaystyle{ (- \infty, t)}\) (lambda to miara Lebesgue'a).
I tak na przykład dla \(\displaystyle{ t=-1}\), przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ (-\infty , -1)}\) przez odwzorowanie \(\displaystyle{ X}\) to zbiór \(\displaystyle{ \frac{1}{3}(2-\sqrt{3})}\).

W jaki sposób wyszedł ten przeciwobraz? Może ktoś wyznaczyć dystrybuantę krok po kroku? Kompletnie nie umiem sobie z tym poradzić.