Matematyka.pl

witam zadanie jak dla mnie nietypowe,

oblicz pole powierzchni brył powstałej przez obrót dookoła osi \(\displaystyle{ OX}\) krzywej \(\displaystyle{ x^2+y^2=2y}\) (okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ S(0,1)}\) ) dla \(\displaystyle{ x \in \left[ 0,1\right]}\)
otóż nie wiem co trzeba podstawić do wzoru \(\displaystyle{ \left| P\right| =2\pi \int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}}\)

nie wiem jak przekształci wzór podanej krzywej

Wylicz \(\displaystyle{ y}\) z równania \(\displaystyle{ x^2+y^2=2y}\) i to jest Twoje \(\displaystyle{ f(x)}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{ x^2+y^2}{2}}\)? raczej chyba nie bo tam ma być funkcja x ale ten \(\displaystyle{ y^2}\) psuje mi

Problem w tym, że to nie jest funkcja. Można ten półokrąg podzielić na pół i potraktować jak dwie osobne funkcje, albo sparametryzować:

\(\displaystyle{ x=\cos t\\
y=1+\sin t\\
t\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\\\\
S=2\pi\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}y\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt=2\pi\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\sin t\,dt=2\pi^2}\)

mike_k pisze:\(\displaystyle{ y=\frac{ x^2+y^2}{2}}\)? raczej chyba nie bo tam ma być funkcja x ale ten \(\displaystyle{ y^2}\) psuje mi

Ale żeś wymyślił. Przecież z prawej strony masz jeszcze y. Sprowadź to do równania okręgu, przenieś x^2 na drugą stronę i spierwiastkuj, potem przenieś 1 na drugą stronę.

nie rozumiem tego za bardzo a ten wzór to jest specjalnie dla tych parametrów bo w zeszycie i w skrypcie nie mam tego jedynie to na długość krzywej w postaci parametrycznej.

A wynik do tego zadani to \(\displaystyle{ \frac{20}{3}\pi}\) podstawiłem do Twojego wzoru i wyszło mi tak jak Tobie..

Mi moją metodą również wyszło \(\displaystyle{ 2\pi^2}\)

armand pisze:

mike_k pisze:\(\displaystyle{ y=\frac{ x^2+y^2}{2}}\)? raczej chyba nie bo tam ma być funkcja x ale ten \(\displaystyle{ y^2}\) psuje mi

Ale żeś wymyślił. Przecież z prawej strony masz jeszcze y. Sprowadź to do równania okręgu, przenieś x^2 na drugą stronę i spierwiastkuj, potem przenieś 1 na drugą stronę.

hehe jestem nie wyspany

\(\displaystyle{ y=\sqrt{1-x^2}+1}\) tak ma wyjść y?

mike_k pisze:nie rozumiem tego za bardzo a ten wzór to jest specjalnie dla tych parametrów bo w zeszycie i w skrypcie nie mam tego jedynie to na długość krzywej w postaci parametrycznej.

Wzór parametryczny jest bardziej ogólny, wzór "funkcyjny" to jego szczególny przypadek. Zauważ, że jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ t=x}\), to dostaniemy właśnie \(\displaystyle{ \left| P\right| =2\pi \int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}\).

mike_k pisze:

armand pisze:

mike_k pisze:\(\displaystyle{ y=\frac{ x^2+y^2}{2}}\)? raczej chyba nie bo tam ma być funkcja x ale ten \(\displaystyle{ y^2}\) psuje mi

Ale żeś wymyślił. Przecież z prawej strony masz jeszcze y. Sprowadź to do równania okręgu, przenieś x^2 na drugą stronę i spierwiastkuj, potem przenieś 1 na drugą stronę.

hehe jestem nie wyspany

\(\displaystyle{ y=\sqrt{1-x^2}+1}\) tak ma wyjść y?

To jedna połówka. Pierwiastkując dostajesz w wyniku moduł, więc musisz też uwzględnić tą ujemną część. Okrąg jest sumą obu połówek.