Matematyka.pl

a) jakie powinno byc prawdopodobienstwo sukcesu w jednej probie, aby najbardziej prawdopodobna liczba sukcesow w 10 probach wynosila 7?

b) prawdopodobienstwo sukcesu w jednej probie wynosi 0,2. ile nalezy wykonac prob, aby najbardziej prawdopodobna liczba sukcesow byla rowna 11?

z Bernoulliego
szukamy takiego p by wyrażenie
\(\displaystyle{ P(X=7)=\frac{10!}{7!(10-7)!}p^7(1-p)^{10-7}}\) było max dla p od 0 do 1
zatem
\(\displaystyle{ f(p)=120p^7(1-p)^3}\)
liczymy pochodną i przyrównujemy do 0
\(\displaystyle{ f'(p)=120(7p^6(1-p)^3-3p^7(1-p)^2)=0}\)
co się da to przed nawias
\(\displaystyle{ 120p^6(1-p)^2(7(1-p)-3p)=0}\)
i dalej
\(\displaystyle{ 120p^6(1-p)^2(7-10p)=0}\)
zeruje się dla p=0 p=1 i p=0,7 (tylko tutaj pochodna zmienia znak z + na - więc maximum)
wykresik f(p) poniżej