Matematyka.pl

Jak za pomocą sumy potęg ubywających wyrazić \(\displaystyle{ k^4}\) ?

Pozdrawiam !

\(\displaystyle{ k^n= \sum_{i=0}^{n}\left\{ \begin{matrix}n\\i\\\end{matrix}\right\} k^{\underline{i}}}\)

Q.

Mam problem z tymi liczbami Stirlinga drugiego stopnia, na podstawie tego przykładu nie potrafię ich obliczyć. W ogóle nie potrafię ich obliczyć, nie wiem w jaki sposób to się robi, a jest to potrzebne do obliczenia współczynników przy potęgach ubywających. Weźmy przykład o którym już mówiłam:

\(\displaystyle{ k^{4}=(A)k^{\underline{4}}+(B)k^{\underline{3}}+(C)k^{\underline{2}}+(D)k^{\underline{1}}}\)

Wielkimi literami w nawiasach zaznaczyłem współczynniki przy odpowiednich potęgach ubywających. Jak je obliczyć ?
Tj. próbuję podstawić odpowiednio do każdej potęgi:

Na przykład współczynniki przy \(\displaystyle{ x^{\underline{3}}}\)

\(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix}n\\i\\\end{matrix}\right\}= \left\{ \begin{matrix}4\\3\\\end{matrix}\right\}}\) Jak mam obliczyć liczbę Stirlinga rodzaju drugiego ?

Znalazłem wzór który rozpisuje takową liczbę na:

\(\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix}n\\i\\\end{matrix}\right\} = k \left\{ \begin{matrix}n-1\\k\\\end{matrix}\right\} + \left\{ \begin{matrix}n-1\\k-1\\\end{matrix}\right\}}\)

Nic mi to nie daje żeby wyjść na jakąś liczbę naturalną, nadal mam te nawiasy które wskazują na liczbę Stirlinga drugiego rodzaju i wydaję się że po prostu z tego nie wyjdę, korzystając z tego wzoru. A chcę wyjść na liczbę naturalną

Czy ktoś może rozpisać to na jednym przykładzie ? Resztę chyba da się zrobić analogicznie.

... II_rodzaju

Toż właśnie z tego korzystam

Ale jak rozpiszę, mój przypadek, to nadal przecież mam "liczby w nawiasach klamrowych", pytanie tylko, jak z nich wyjść. Tj. z tych nawiasów.-- 17 cze 2012, o 00:35 --Dobra, w sumie, jeśli kogoś by to interesowało lub miał by podobny problem. Wystarczy skorzystać z trójkąta na liczby Stirlinga II rodzaju, coś "podobnego" do trójkąta Pascala. Odczytuje się jednak wartości w kolejności odwrotnej, tj. po "arabsku", od prawej do lewej.

Trójkąt ten powstaje na podstawie równania rekurencyjnego, które zostało podane powyżej.

Ale jakoś nikt nie raczył, nie chciał lub po prostu nie miał ochoty wyjaśnić mi tego jak pozbyć się tych "nawiasów klamrowych".

przeciez mialas wzor rekurencyjny! stosuje sie go pare razy i nawiasy klamrowe znikaja kiedy dochodzimy do warunkow brzegowych nie wiem w czym problem.....