Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}}\) i \(\displaystyle{ Y=\left\{ {1,2,3,4}\right\}}\). Ile jest takich funkcji, które przekształcają zbiór \(\displaystyle{ X}\) na zbiór \(\displaystyle{ Y}\). Jak do tego dojść?

"Na",czyli każdy element z Y musi być wartością funkcji i jak 1 może mieć swój argument.
Można wybrać go na 6 sposobów. 2 też,ale tylko na 5 sposobów,bo
\(\displaystyle{ f(x)=1}\) i \(\displaystyle{ f(x)=2}\) przeczy definicji funkcji.
Póżniej tak dla 3 i 4 czyli na tym etapie mamy \(\displaystyle{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}\) sposobów. Teraz musimy obsadzić dwa nie użyte dotąd argumenty(drugi warunek definicji funkcji) i możemy to zrobić po 4 sposoby(4 wartości)
czyli takich funkcji możemy ułożyć \(\displaystyle{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4}\)

Powyższe rozwiązanie jest niepoprawne - przecież jak najbardziej może być \(\displaystyle{ f(1)=f(2)}\).

Prawidłowa odpowiedź to:
\(\displaystyle{ \left\{
\begin{matrix}
6\\
4\\
\end{matrix}
\right\}\cdot 4!}\)
gdzie \(\displaystyle{ \left\{
\begin{matrix}
n\\
k\\
\end{matrix}
\right\}}\) to liczba Stirlinga drugiego rodzaju.

Q.

Jeśli w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) jest tyle samo elementów, to bierze się silnie liczby elementów w jednym zbiorze.

A gdy elementów w zbiorze \(\displaystyle{ Y}\) jest więcej niż w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), nie ma takich funkcji (bo gdy \(\displaystyle{ k>n}\) to \(\displaystyle{ \left\{
\begin{matrix}
n\\
k\\
\end{matrix}
\right\}=0}\)) Czy jest to prawda?

Chodzę do pierwszej klasy LO, i pierwszy raz widzę coś takiego jak: "liczby Stirlinga".

Dwie Twoje obserwacje są bardzo słuszne.

A co do ostatniej kwestii - to nie jest zadanie na poziom liceum. Ale o liczbach Stirlinga można sobie zawsze doczytać, nie jest to nic strasznie skomplikowanego.

Q.

\(\displaystyle{ \left| X\right|= 6}\) , \(\displaystyle{ \left| Y\right|=4}\)

więc takich funkcji jest:

\(\displaystyle{ \left| Y\right|^{\left| X\right| } =4^{6}}\)

17inferno pisze:\(\displaystyle{ \left| Y\right|^{\left| X\right| } =4^{6}}\)

Tyle jest wszystkich funkcji, a pytanie było o liczbę funkcji "na" (suriekcji).

Nawiasem mówiąc to zadanie można też rozwiązać używając reguły włączeń i wyłączeń, oznaczając przez \(\displaystyle{ A_i}\) (dla \(\displaystyle{ i=1,2,3,4}\)) zbiór tych funkcji które nie przyjmują wartości \(\displaystyle{ i}\). Wówczas liczba funkcji "na" to \(\displaystyle{ |A_1' \cap A_2' \cap A_3' \cap A_4'|}\), co da się właśnie policzyć przy użyciu rzeczonej reguły.

Q.

Qń pisze: A co do ostatniej kwestii - to nie jest zadanie na poziom liceum.

Bez przesady! Tak by było dla \(\displaystyle{ k}\) kul i \(\displaystyle{ n}\) komórek, ale dla tych konkretnych liczb mamy tylko dwa przypadki:

1. w jednej komórce trzy kule, w pozostałych po jednej,
2. w dwóch komórkach po dwie kule, w pozostałych po jednej.

Tak samo jest w trochę ogólniejszym przypadku \(\displaystyle{ k=n+2}\).