Matematyka.pl

1) Oszacowanie z góry:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{n^2-k^2}=n \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{1-\left( \frac k n\right)^2 }=n^2 \sum_{k=1}^{n}\frac 1 n \sqrt{1-\left( \frac k n\right)^2 }}\)
i mamy dla dużych \(\displaystyle{ n}\) przybliżenie
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac 1 n \sqrt{1-\left( \frac k n\right)^2 } \approx \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,\dd x=\frac \pi 4}\)
Ponadto funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{1-x^2}}\) jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), a zatem
ciąg jej sum całkowych jak wyżej jest rosnącym.
Stąd mamy oszacowanie górne:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{n^2-k^2} \le \frac{\pi n^2}{4}}\)
i wystarczy wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}<0,79}\), a równoważnie \(\displaystyle{ \pi<3,16}\) (skorzystać można tu np. z szacowania z góry wartości \(\displaystyle{ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}}\) lub ze znanego przybliżenia \(\displaystyle{ \pi \approx \frac{22}{7}}\)), by zakończyć dowód nierówności
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{n^2-k^2}<0,79n^2}\)
2) - tu mam problem; pozostaje więc szacowanie z dołu (przekształcam równoważnie):
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{n^2-k^2}>0,785n^2-n\\n^2 \sum_{k=1}^{n}\frac 1 n \sqrt{1-\left( \frac k n\right)^2 }>0,785n^2-n\\\sum_{k=1}^{n}\frac 1 n \sqrt{1-\left( \frac k n\right)^2 }>0,785-\frac 1 n}\)
Jak stwierdziliśmy, wartości sum po lewej rosną, podobnie wartości sum po prawej (bo \(\displaystyle{ -\frac{1}{n+1}-\left( -\frac 1 n\right) =\frac{1}{n(n+1)}}\)).
Dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) ta nierówność zajdzie, gdyż, jak też już wyżej napisałem,
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac 1 n \sqrt{1-\left( \frac k n\right)^2 }=\frac \pi 4>\frac{3,14}{4}=0,785}\)

Jednak w tej chwili nie mam pomysłu, jak to udowodnić dla dowolnych \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)


Natomiast teza w oryginalnej postaci nie działa już dla \(\displaystyle{ n=3}\).