Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X:=\left\{f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}: \mathrm{f\ jest\ funkcją\ ciągłą}\right\}}\). Rozważamy przestrzeń wektorową \(\displaystyle{ \left(X, \mathbb{R}, +, \cdot\right)}\) ze standardowym dodawaniem funkcji i mnożeniem przez skalar. Sprawdzić, czy układ wektorów: \(\displaystyle{ \left\{\sin x, \cos x, 3\right\}}\) jest układem liniowo niezależnym.

Proszę kogoś o wytłumaczenie tego zadania jak krowie na granicy

Jaki znasz warunek na liniową niezależność wektorów?

Układ wektorów \(\displaystyle{ \left\{x_{ \alpha }\right\}_{\alpha \in I} \subset X}\) jest liniowo niezależny, gdy dla dowolnego skończonego podukładu \(\displaystyle{ x_{1},...,x_{n} \in \left\{x_{ \alpha }\right\}_{\alpha \in I}}\) zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}, ...,\alpha_{n} \in \mathbb{F}, \alpha _{1}x_{1} + ... + \alpha _{n}x_{n} = 0 \Rightarrow \alpha _{1} = ... = \alpha_{n} = 0}\)

Jest to układ liniowo niezależny. Załóżmy, że jest przeciwne tzn. np. funkcja \(\displaystyle{ 3}\) jest kombinacją liniową pzoostałych, czyli istnieją \(\displaystyle{ a,b\neq0}\) takie, że

\(\displaystyle{ \forall x\in\mathbb{R}\quad a\sin x+b\cos x=3}\)

To jednak niemożliwe, bo dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy

\(\displaystyle{ a\sin0+b\cos0=b=3}\), stąd \(\displaystyle{ b=3}\).

Dla \(\displaystyle{ x=\frac\pi2}\) byłoby wtedy

\(\displaystyle{ a\sin\frac\pi2+3\cos\frac\pi2=3\quad\Rightarrow\quad a=3}\)

Jednak w punkcie \(\displaystyle{ x=\pi}\) mamy

\(\displaystyle{ 3\sin\pi+3\cos\pi=-3\neq3}\)

Na podobnej zasadzie można znaleźć punkty, które dadzą sprzeczność, jeśli założymy pozostałe kombinacje liniowe.

Jeszcze muszę to przełknąć, ale dziekuję!