Matematyka.pl

Witam.
Egzamin z algebry za tydz a ja mam problem z jednym z typów zadań z algebry a mianowicie obliczaniem zadan tego typu:
Niech:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right]}\)
Oblicz :
\(\displaystyle{ B = \cos (A)}\) , \(\displaystyle{ B = 2 ^{A}}\) , \(\displaystyle{ B =\exp(A)}\)

Licze na pomoc w rozwiazaniu albo jakieś wskazówki jak się za to zabrać.

To może zacznijmy od \(\displaystyle{ B =\exp(A).}\) Jaka jest definicja tej macierzy?

Wskazówka: rozwiń te funkcje w szereg Taylora.

Znasz rozwinięcie \(\displaystyle{ e^{A}}\) lub \(\displaystyle{ \cos A}\)?

Jak juz rozwiniesz \(\displaystyle{ e^{A}}\) to zostaje znaleźć(łatwo) wzór na \(\displaystyle{ A^{n}}\) i wysumować.
Wynik: Z kosinusem nie robie ale pewnie też ładnie wyjdzie.

fon_nojman pisze:To może zacznijmy od \(\displaystyle{ B =\exp(A).}\) Jaka jest definicja tej macierzy?

Tu chodzi o eksponente macierzy czyli
\(\displaystyle{ \sum_{ k=0 }^{\infty} \frac{ A^{k} }{k!}}\)
czyli mam podniesc macierz do potęgi? Tylko ile razy i od czego zalezy to k?

Rozumiesz symbol sumy \(\displaystyle{ \sum}\)? Do takiej potęgi jaki jest indeks pod sumą.

Czyli dla dowolnego \(\displaystyle{ k\in \mathbb{N}.}\)

\(\displaystyle{ A^0=I}\) (macierz jednostkowa)

\(\displaystyle{ A^1=A}\)

\(\displaystyle{ A^2=\ldots}\)

itd.

Wylicz, można zauważyć regułę jak będą wyglądały dowolne potęgi.