ciągłość funkcji
: 14 cze 2012, o 20:22
Zbadać ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\lim_{n\to+\infty} \left( \frac{x^{n}+x}{x^{2n+1}+1} \right)}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus \{-1\}}\)
Właściwie jaka ma być dziedzina? \(\displaystyle{ -1}\) wypada na pewno, aby mianownik się nie zerował. \(\displaystyle{ 1}\) to czemu ma wypaść?
Można pokazać, że \(\displaystyle{ 1}\) to punkt nieciągłości, bo dla \(\displaystyle{ -1 < x < 1}\) \(\displaystyle{ f \equiv x}\), a dla \(\displaystyle{ x > 1}\) mianownik powoduje, że całość dążdy do 0. Dla \(\displaystyle{ x<-1}\) mianownik też wygasi, a że są tylko nieparzyste potęgi to nie ma problemu.