Bierzemy
\(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{(e^z - z + 1)^2 + \pi^2}}\) i szukamy biegunów w górnej półpłaszczyźnie.
Mamy:
\(\displaystyle{ e^z - z + 1 = \pm i \pi}\), jak je zróżniczkujemy, to dostaniemy
\(\displaystyle{ e^z = 1}\) - czyli
\(\displaystyle{ z}\) jest czysto urojoną liczbą. Podstawmy
\(\displaystyle{ z = it}\):
\(\displaystyle{ e^{i t} - i t + 1 = \pm i \pi \iff \begin{cases} \cos t + 1 & = 0 \\ \sin t - t & = \pm \pi \end{cases}}\)
Z tego, że
\(\displaystyle{ \cos t = -1}\) mamy dalej, że
\(\displaystyle{ z = i \pi}\). Sprawdzamy, pasuje.
Liczymy residuum:
\(\displaystyle{ \text{res} \left( f, i \pi \right) = \lim_{z \to i \pi} \frac{z - i \pi}{(e^z - z + 1)^2 + \pi^2}}\)
Tutaj przyznam, że nie wpadłem na żaden sprytny pomysł, więc rozwinąłem mianownik w otoczeniu
\(\displaystyle{ z = i \pi}\), co dało:
\(\displaystyle{ - \pi^2 + 4 i \pi (z - i \pi ) + \ldots + \pi^2}\). Ostatecznie całeczka równa się:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(e^x-x+1)^2+\pi^2} = 2 \pi i \cdot \frac{1}{4 i \pi} = \frac{1}{2}}\)
-edit-
Nie no bzdurę napisałem - z
\(\displaystyle{ e^z = 1}\) wcale nie wynika, że
\(\displaystyle{ z}\) jest czysto urojone.-- 14 cze 2012, 18:48 --Trzeba inaczej poszukać biegunów:
\(\displaystyle{ e^z = z-1\pm i \pi = w(z) \Rightarrow z = w(z) - 1 \mp i \pi}\)
\(\displaystyle{ e^z = e^{w(z) + 1 \pm i \pi} = -e^{w(z)+1} = w(z)}\)
\(\displaystyle{ e = (-w(z)) e^{-w(z)} \Rightarrow w(z) = - W(e) = 1}\)
gdzie
\(\displaystyle{ W}\) to funkcja W Lamberta (a raczej jedna z jej gałęzi). To daje
\(\displaystyle{ z = 1 -1 \mp i \pi}\) a stąd mamy pasujący biegun
\(\displaystyle{ z = i \pi}\).