Matematyka.pl

Przyjmijmy \(\displaystyle{ \mathbb{N}=\left\{ 1,2,3,...\right\}}\)

Rozważmy ciągi \(\displaystyle{ f_s:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}}\) gdzie \(\displaystyle{ s=1,2,3,...,n,...}\)
takie że \(\displaystyle{ f_s(n)=1\underbrace{00\ldots0}_{s}1\underbrace{00\ldots0}_{s}1...1\underbrace{00\ldots0}_{s}1}\) gdzie dla każdego argumentu \(\displaystyle{ n}\) ciągu \(\displaystyle{ f_s}\) każdy układ \(\displaystyle{ s}\) zer poprzedzony i zakończony jedynką, występuje \(\displaystyle{ n}\) -krotnie

Czy istnieje nieskończenie wiele ciągów \(\displaystyle{ f_s}\) których każdy wyraz jest liczbą złożoną?

Czy istnieje chociaż jeden taki ciąg \(\displaystyle{ f_s}\)?:)

Nie wiem, ale jeśli znajdę, to dam znać. W każdym razie nie mam dowodu, że nie istnieje.

Czyżby każdy wyraz ciągu \(\displaystyle{ f_4}\) dzielił się przez 11?

edit:

Błąd! \(\displaystyle{ f_{4k}(1)}\) dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ k}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\)...

edit2:

to trywialne pokazać, że
\(\displaystyle{ f_{2k}(2l+1)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\) dla każdej pary \(\displaystyle{ k,l\in\mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ f_{2k+1}(2l+1)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 101}\) dla każdej pary \(\displaystyle{ k,l\in\mathbb{N}}\)

edit3:

Fajnie rozważać inne systemy pozycyjne dla takich zerojedynkowych ciągów.

eMaerthin pisze: to trywialne pokazać, że
\(\displaystyle{ f_{2k}(2l+1)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\) dla każdej pary \(\displaystyle{ k,l\in\mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ f_{2k+1}(2l+1)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 101}\) dla każdej pary \(\displaystyle{ k,l\in\mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ f_{3}(1)=10001}\) ale \(\displaystyle{ 10001}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 101}\) - jeśli jednak założyłeś, że \(\displaystyle{ l \ge 1}\), to nie określiłeś pierwszego wyrazu ciągu.

Faktycznie to był masakryczny błąd!! Sprawdziłem prawdziwość tego pochopnego stwierdzenia tylko dla kilku wartości \(\displaystyle{ k}\).... Wybacz;) oczywiście to nieprawda...
Miałem na myśli, że dla ustalonego \(\displaystyle{ s}\) \(\displaystyle{ f_s(1)}\) jest dzielnikiem liczb \(\displaystyle{ f_s(2l+1)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ l\in\mathbb{N}}\)

Spoko. Ale zdaje się, że \(\displaystyle{ f_5}\) jest OK.