Matematyka.pl

Witam, zwracam się z ogromną prośbą o pomoc w rozpisaniu założeń do poniższego zadania. Z góry dziękuję.


Rafineria sprowadza ropę naftową z dwóch źródeł różniących się między sobą jakością i ceną. Produkcję rafinerii stanowią dwa rodzaje benzyn E98 i E94 oraz olej opałowy. Ile trzeba kupić ropy R1 a ile R2, aby móc otrzymać co najmniej 120 tyś l E94, co najmniej 500 tyś l E98 oraz 300 tyś l oleju opałowego starając się minimalizować koszty zakupu.

Ilość litrów uzyskiwanych produktów z jednej tony ropy

Ropa..........E98..... E94.......OP........Cena jednej tony ropy
R1.............100...... 90 .......250 .............550
R2.............150..... 130 ......200 ...............750

\(\displaystyle{ x,y}\) - liczba ton ropy odpowiednio \(\displaystyle{ R_1,R_2.}\)

Cena zakupu: \(\displaystyle{ 550x+750y\to\min}\)

Warunki ograniczające na poszczególne produkty:

E98: \(\displaystyle{ 100x+150y\ge 500\,000}\)
E94: \(\displaystyle{ 90x+130y\ge 120\,000}\)
OP: \(\displaystyle{ 250x+200y\ge 300\,000}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ x,y\ge 0.}\)

Mamy więc do rozwiązania następujący problem programowania liniowego:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{aligned}
550x+750y&\to\min\\
100x+150y&\ge 500\,000\\
90x+130y&\ge 120\,000\\
250x+200y&\ge 300\,000\\
x&\ge 0\\
y&\ge 0\,.
\end{aligned}}\)

Rozwiązujemy go metodą graficzną, jako że zawiera tylko dwie zmienne decyzyjne. Jednakże ciężko to narysować ze względu na znaczne dysproporcje między współczynnikami. Ale dałoby się. Wszystkie nierówności dzielimy przez ich prawe strony otrzymując równania prostych w postaci odcinkowej. Zaznaczamy ich punkty przecięcia z osiami układu. Rysujemy zbiór zadany tymi trzema nierównościami w pierwszej ćwiartce układu. Teraz rysujemy prostą o równaniu \(\displaystyle{ 550x+750y=0}\), czyli wykres naszej funkcji celu, ale z ceną zerową, jakby nic nie kupiono. Teraz przesuwamy ją w górę aż zatknie się z jakimś wierzchołkiem zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Ten wierzchołek stanowić będzie decyzję optymalną. Z jego współrzędnych dostaniemy \(\displaystyle{ x}\) jako liczbę ton ropy \(\displaystyle{ R_1}\) i odpowiednio \(\displaystyle{ y.}\)

Poradzisz sobie?

Dziękuję bardzo, będę wdzięczna-- 13 cze 2012, o 21:22 --Tak teraz na pewno sobie poradzę. Dziękuję bardzo !

Mam pytanie. Jak się za to zabrać jeżeli mamy 4 zmienne decyzyjne?

Z góry dzięki za pomoc!

Jeśli są np. tylko dwa warunki, można rozwiązać problem dualny sprowadzając problem pierwotny z czterema zmiennymi do problemu z dwiema zmiennymi i czterema warunkami. Można także rozwiązać to albo metodą rozwiązań bazowych, albo metodą simplex.

Ile masz warunków?