Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha } + \frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha }}\)

Jeśli można to prosiłbym o krótkie wyjaśnienie poszczególnych kroków.

Rozszerz pierwszy ułamek o \(\displaystyle{ 1-\cos \alpha}\).

Przekształcamy lewą stronę równania.
Najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{\sin ^{2} \alpha + (1+\cos \alpha) ^{2} }{(1+\cos \alpha) \cdot \sin \alpha }}\)

Korzystając ze wzoru na na kwadrat sumy mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\sin ^{2} \alpha + 1+2\cos \alpha +\cos ^{2} \alpha }{(1+\cos \alpha) \cdot \sin \alpha }}\)

Teraz w liczniku zauważamy jedynkę trygonometryczną:
\(\displaystyle{ \frac{ 1 + 1+2\cos \alpha }{(1+\cos \alpha) \cdot \sin \alpha }}\)

W liczniku dodajemy jedynki i wyciągamy dwójkę przed nawias:
\(\displaystyle{ \frac{ 2( 1+\cos \alpha) }{(1+\cos \alpha) \cdot \sin \alpha }}\)

Skracamy i otrzymujemy prawą stronę:
\(\displaystyle{ \frac{ 2 }{\sin \alpha }}\)