Matematyka.pl

Mam problem z rozumowaniem rozwiazania tego zadania:

\(\displaystyle{ \lim \frac{1+a+a^2+...+a^n}{1+\frac14+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{4^n}}}\)

wg odpowiedzi:
dla \(\displaystyle{ \left| a\right|<1 \lim=\frac{3}{4(1-a)}}\) i to jest zrozumiale, ale dla \(\displaystyle{ \left| a\right|\geq1}\)ciag jest rozbiezny.

i tu nie rozumiem dwoch rzeczy:
1. dlaczego \(\displaystyle{ \left| a\right| \geq1}\) a nie \(\displaystyle{ \left| a\right|>1}\)? przeciez dla \(\displaystyle{ a =1}\) bedzie dzielenie przez zero po sprowadzeniu do wzorow na sume ciagu geometrycznego?
2. o ile dla \(\displaystyle{ a<-1}\) ciag jest rzeczywiscie rozbiezny, to dla \(\displaystyle{ a>1}\) ciag dazy do nieskonczonosci. Dlaczego taka odpowiedz?

Skoro dąży do nieskończoności to jest rozbieżny

wzór \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}ba^n=\frac{b}{1-a}}\) zachodzi dla \(\displaystyle{ |a|<1}\)

Dla \(\displaystyle{ a=1}\) licznik przyjmuje postać \(\displaystyle{ 1+\cdots+1=n}\) jak pójdziemy z \(\displaystyle{ n}\) do nieskończoności to granica jest \(\displaystyle{ +\infty~\Rightarrow}\) rozbieżny

1.ok czyli dazenie do nieskonczonosci mozna nazwac rozbieznoscia? a ciag \(\displaystyle{ (-1)^n}\) jak nazwac?

2. tak mnie naszlo, hipotetycznie, jesli bylby taki ciag ze w liczniku mamy liczbe, a w mianowniku cos co dazy do 0, to jaka wtedy jest granica?

1. Taki ciąg też jest rozbiezny bo nie jest zbiezny do żadnej granicy.

2. To zależy do jakiej liczby dąży licznik i z której strony mianownik dąży do 0. Wtedy w zależności od tego dąży do + lub \(\displaystyle{ -\infty}\).