dystrybuanta zmiennej losowej oraz rozkład normalny

[Woniak]

1.
Dystrybuanta zmiennej losowej (zad o firmie budowlanej):
\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} 0 \quad\ dla \ \ x \le 0 \\ \frac{x^2}{4} \quad\ dla \ \ 0<x \le 2 \\ 1 \quad\ dla \ \ x>2 \end{cases}}\)

a) Obliczyć wartość prawdopodobieństwa, że w okresie 100 dni będzie min. 1 dzień, w którym firma zużyje mniej niż 0,5 tony żwiru:
Czy liczymy po prostu \(\displaystyle{ P(0,5)= \frac{( \frac{1}{2} )^2}{4}= \frac{1}{16}}\) ?

b) Obliczyć średnie dzienne zużycie żwiru.
Tu prosiłbym o jakieś wskazówki.


2.
Rozkład normalny ze średnią 165, odchylenie standardowe 40 (poziom cholesterolu w pewnej populacji chłopców).

a) Jaka część ma poziom pomiędzy 145 a 185?
\(\displaystyle{ P(X \ge x) = \Phi ( \frac{x-165}{40} )}\)
\(\displaystyle{ P(185 \ge x) - P(145 \ge x)= \Phi ( \frac{185-165}{40} )- \Phi ( \frac{145-165}{40} )= \Phi ( \frac{1}{2} )- \Phi ( \frac{-1}{2} )=2 \Phi( \frac{1}{2} )-1}\)
Dobrze? Ile wynosi \(\displaystyle{ \Phi( \frac{1}{2} )}\)?

b) Jeśli Antek wie, że 65% chłopców ma większy poziom cholesterolu niż on, to jaki poziom ma Antek?
Tu również proszę o podpowiedź.

[scyth]

1. Bez treści nie pomożemy.

2.
a)
\(\displaystyle{ P(145 < X < 185) = P \left( \frac{145 - 165}{40} < \frac{X - 165}{40} < \frac{185 - 165}{40}\right) = P \left( -0,5 < \frac{X - 165}{40} < 0,5 \right) = \Phi(0,5) - \Phi(-0,5) \approx 0,691 - 0,309 = 0,382}\)

b)
\(\displaystyle{ P(X>p_a) = 0,65 \\
1-P(X \le p_a) = 0,65 \\
1 - P \left( \frac{X - 165}{40} < \frac{p_a - 165}{40}\right) = 0,65 \\
1 - \Phi \left( \frac{p_a - 165}{40}\right) = 0,65 \\
\Phi \left( \frac{p_a - 165}{40}\right) = 0,35 = \Phi(-0,385) \\
\frac{p_a - 165}{40} = -0,385 \\
p_a = 149,6}\)

Wartości dystrybuanty rozkładu normalnego odczytujesz z tablicy rozkładu:
http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_r ... normalnego
Jak z nich korzystać (jeśli masz jakąś swoją):
https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=39336