Dla jakich par \(\displaystyle{ (m,n)}\) gdzie \(\displaystyle{ m \in Z \ , n \in Z}\) zachodzi: \(\displaystyle{ \frac{n^3+1}{mn-1} \in Z}\) ? Uwaga: \(\displaystyle{ Z = \{ 0, \pm 1, \pm 2, .... \}}\)
pary liczb
: 18 mar 2013, o 23:23
autor: Ponewor
Zadanie bardzo stare i znane. Pojawiło się na forum pewnie dziesiątki razy. A pochodzi z XXXV IMO
Rozwiązanie nie moje, acz bardzo podobne do tego co kiedyś udało mi się wycisnąć:
Niech \(\displaystyle{ \left( m , \ n \right)}\) będą taką parą, dla której spełnione są warunki zadania. Wówczas \(\displaystyle{ n^{3}+1=\left(mn-1\right)k}\), co daje następnie \(\displaystyle{ k=jn-1}\). Po wstawieniu mamy równoważnie \(\displaystyle{ n^{2}-mjn+m+j=0}\). Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie drugim pierwiastkiem tego równania. Zgodnie z wzorami Viete'a mamy: \(\displaystyle{ n+p=mj \wedge np=m+j}\), skąd uzyskujemy całkowitość i dodatniość \(\displaystyle{ p}\). W tym momencie zauważmy, że role \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ p}\), oraz \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ j}\) są symetryczne. Dla \(\displaystyle{ m, \ n, \ j, \ p \ge 2}\) zachodzi: \(\displaystyle{ mj \ge m+j=np \ge n+p=mj}\). Musi więc zachodzić równość, czyli \(\displaystyle{ m=n=p=j=2}\). Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ j=1}\). Mamy: \(\displaystyle{ n+p=m \wedge np=m+1 \Rightarrow np-n-p=1 \Rightarrow \left( n-1\right)\left( p-1\right) =2}\) co daje nam pary \(\displaystyle{ \left( 5, \ 3\right), \ \left( 5, \ 2 \right)}\), a z uwagi na symetrię ról \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ j}\) także pary \(\displaystyle{ \left( 1, \ 3\right), \ \left( 1, \ 2\right)}\).
Teraz zakładamy, że \(\displaystyle{ p=1}\) i bo bardzo podobnych rozważaniach otrzymujemy pary: \(\displaystyle{ \left( 3, \ 5\right), \ \left( 2, \ 5\right), \ \left( 3, \ 1\right), \ \left( 2, \ 1\right)}\).