Matematyka.pl

Nie wiedziałem, gdzie dać ten temat, ale że jest on związany z całkami to zamieszczam go tutaj.
\(\displaystyle{ ( x^{2} + y^{2} )^{2}=2a ^{2}( x^{2} - y^{2} )}\)
Równanie lemniskaty. Moje pytanie jest takie: nie znając tej krzywej jak narysować jej wykres w układzie kartezjańskim?
I ogólnie jaki jest sposób na rysowanie takich krzywych, np.:
\(\displaystyle{ (x ^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy}\)
jej wykresem jest
dla a=1. Jest to jakaś specjalna krzywa o konkretnej nazwie? Jak ją narysować nie mając wolframa? (mam policzyć pole ograniczone tą krzywą, co zrobiłem, ale znając rysunek)

Konstrukcje lemniskaty postaci \(\displaystyle{ ( x^{2} + y^{2} )^{2}=2a ^{2}( x^{2} - y^{2} )}\) znajdziesz tutaj:
... liego.html

Niestety nie znam sposobu na konstrukcję krzywej postaci \(\displaystyle{ (x ^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy}\)

przejść na współrzędne biegunowe: \(\displaystyle{ r^4 =2a^2 r^2 \sin \phi \cos \phi}\)
\(\displaystyle{ r=a \sqrt{ \sin 2\phi }}\)
dla \(\displaystyle{ a>0}\)
i określić przedział \(\displaystyle{ \phi}\) dla których \(\displaystyle{ \sin 2\phi \ge 0}\)
powstawiać kilka wartości dla \(\displaystyle{ \phi}\) i wyliczyć \(\displaystyle{ r}\)
narysować \(\displaystyle{ \sin 2\phi}\) i sprawdzić co się dzieje z promieniem czy rośnie/maleje itp.

eee, sprytne, dzieki
a tak serio, to się okazuje, że to umiałem, tylko nie wiedzieć czemu, zapomniałem, że po zamianie współrzędnych biegunowych mogę wyliczyć przedzial \(\displaystyle{ \phi}\), do tej pory odczytywalem go z rysunku.