Matematyka.pl

Witam, proszę o sprawdzenie czy dobrze rozgryzłem zadanie.

Monopol wytwarza dobro X. Koszt krańcowy wynosi 20, a funkcja popytu na dobro X dana jest wzorem \(\displaystyle{ Q_{d} = 600 - 2P}\) . Oblicz wielkość produkcji i cenę przy których monopol będzie maksymalizował zysk.

---------------------------------------------------------------------------------
\(\displaystyle{ KK = 20}\)
\(\displaystyle{ Q_{d} = 600 - 2P}\)

\(\displaystyle{ zysk_{max} \Leftrightarrow UK=KK}\)

Najpierw przekształciłem \(\displaystyle{ Q_{d} = 600 - 2P}\) żeby otrzymać \(\displaystyle{ P = 300 - \frac{Q}{2}}\)

Potem zacząłem szukać utargu krańcowego. W monopolu funkcja popytu to zarazem krzywa utargów przeciętnych, więc..

\(\displaystyle{ UP = \frac{UC}{Q}}\)

\(\displaystyle{ UC = UP\cdot Q}\)

\(\displaystyle{ UC = 300Q - \frac{1}{2}\cdot Q^{2}}\)
UK to pochodna UC

\(\displaystyle{ UK = 300 - Q}\)
teraz zrównuję UK z KK

\(\displaystyle{ 300 - Q = 20}\)
\(\displaystyle{ Q = 280}\)

No i teraz podstawiam to Q do funkcji popytu względem ceny tj.
\(\displaystyle{ P = 300 - \frac{1}{2}\cdot Q = 300 - \frac{1}{2}\cdot 280 = 300 - 140 = 160}\)

Czyli \(\displaystyle{ p_{m} = 160}\), a \(\displaystyle{ q_{m} = 280}\) ?