Matematyka.pl

ucze sie wlasnie do kolokwium z algebry i chce potwierdzic, czy metoda, jaka rozwiazuje zadanie jest poprawna.. tresc ponizej:

Rozwiaz w liczbach naturalnych uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases} nwd(x,y) = 12\\
x \cdot y = 2880\end{cases}\\
nwd(x,y) = 12\\
x=12 \cdot a\\
y=12 \cdot b\\
2880=12 \cdot a \cdot 12 \cdot a\\
240=12 \cdot a \cdot b\\
20=a \cdot b\\
a \cdot b=1 \cdot 20=2 \cdot 10=4 \cdot 5=5 \cdot 4=...\\
\begin{cases} a=1\\
b=20\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=12 \\ y=240 \end{cases}}\)

gdy mialem podobne zadanie na jednym kolosie popelnilem kilka bledow. jednym z nich bylo, np. gdy wypisalem:
\(\displaystyle{ x=12 \cdot a\\
y=12 \cdot b\\}\)

to prowadzacy dopisal
\(\displaystyle{ \wedge (a,b) = ?}\)
i sam nie do konca wiem, o co moglo mu chodzic

Musisz założyć dodatkowo, że \(\displaystyle{ (a,b)=1}\), bo w przeciwnym razie weź np \(\displaystyle{ a=2,}\) \(\displaystyle{ b=4,}\) wówczas:

\(\displaystyle{ 12=(x,y)=(12a,12b)=(24,48)=24}\)

wiec tylko gwoli scislosci - pomijajac zalozenie, ze sa wzglednie pierwsze, calosc rozwiazania jest prawidlowa?

a wersja 5,4 nie może być ?