Ciało liczb algebraicznych

[YyyYYyyyY]

Jak uzasadnić, że zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest ciałem?
Mam problem z wykazaniem rozdzielności mnożenia względem dodawania. Powiedzmy, że mamy trzy liczby algebraiczne \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\)czyli z definicji istnieją \(\displaystyle{ f,g,h\in\mathbb{Z}\left[ x\right]}\) , że \(\displaystyle{ f(a)=0}\), \(\displaystyle{ g(b)=0}\), \(\displaystyle{ h(c)=0}\). Problem się zaczyna od wskazania wielomianu \(\displaystyle{ w}\), dla którego \(\displaystyle{ w((a+b)\cdot c)=0}\). No i potem jeszcze trzeba znaleźć taki \(\displaystyle{ v\in\mathbb{Z}\left[ x\right]}\), że \(\displaystyle{ v(ac+bc)=0}\). Czy istnieje przepis na wielomiany \(\displaystyle{ w, v}\) zależne w jakiś sposób od \(\displaystyle{ f, g, h}\)?

[szw1710]

Wystarczy sprawdzić, że jest to podciało ciała liczb rzeczywistych. Nie trzeba sprawdzać własności działań. A więc wystarczy sprawdzić, że różnica dwóch liczb jest algebraiczna oraz iloraz liczb algebraicznych jest algebraiczny.

[YyyYYyyyY]

Czyli znaleźć odpowiednie wielomiany dla różnicy i iloczynu dwóch liczb algebraicznych, tak?

Najpierw pomyślałem, że jeżeli \(\displaystyle{ a, b}\) są liczbami algebraicznymi i "odpowiadającymi im" wielomianami są odpowiednio \(\displaystyle{ f, g}\) to, że dla różnicy \(\displaystyle{ a-b}\) szukanym wielomianem będzie \(\displaystyle{ h_1(x)=f(x+b)+g(a-x)}\) a dla iloczynu \(\displaystyle{ ab}\) np. \(\displaystyle{ h_2(x)=f(\frac{x}{b})}\) albo \(\displaystyle{ h_2(x)=g(\frac{x}{a})}\) (no wiadomo, że przy założeniu \(\displaystyle{ a,b\neq 0}\)), no ale nie wygląda to na prawdę (bo niekoniecznie wszystkie współczynniki będą z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\)) i czegoś tu brakuje

[brzoskwinka1]

zobacz tu: ... -algebraic