Matematyka.pl

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostajnych na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\). Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej \(\displaystyle{ |Y-X|}\)..

Mamy \(\displaystyle{ g_{X,Y} (s,t) =g_X (s)\cdot g_Y(t) =1 \mbox{ dla } (s,t)\in [0,1]\times [0,1] ,}\) \(\displaystyle{ g_{X,Y} (s,t) =g_X (s)\cdot g_Y(t) =0 \mbox{ dla } (s,t)\in\mathbb{R}^2 \setminus ([0,1]\times [0,1] ).}\) Zatem:
\(\displaystyle{ \mathbb{E} (|X-Y|) = \int_{[0,1]\times [0,1]} |s-t| dsdt =\frac{1}{3}.}\)