Suma ciągu odwrotności kwadratów liczb naturalnych

[net34]

Czy mółby ktos rozpisac jak policzyc taka oto sume:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+...}\)

[Tristan]

Suma ta wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \pi^2 }{ 6}}\), ale obawiam się, że dowód tego faktu nie jest elementarny. Jednak polecam literaturę rozdziału dziewiętnastego książki " " M. Aignera i G.M. Zieglera. Jest tam podany elegancki dowód faktu, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}}= \frac{ (-1)^{k-1} 2^{2k-1} B_{2k} }{(2k)!} \pi^{2k}}\) dla \(\displaystyle{ k \mathbb{N}}\), gdzie \(\displaystyle{ B_{n}}\) to n-ta liczba Bernoulliego.