Matematyka.pl

Witam! Mam problem z rozwiązaniem tego typu zadania.

\(\displaystyle{ t ^{2} y\prime-2ty=9\ln t}\)

\(\displaystyle{ t ^{2} \frac{dy}{dt}=9\ln t + 2ty/ \cdot dt}\)

\(\displaystyle{ t ^{2} dy=(9\ln t + 2ty)dt/:t ^{2}}\)

\(\displaystyle{ dy= \frac{(9\ln t + 2ty)dt}{t ^{2}}}\)

W tym momencie mam problem, nie wiek jak mam przenieść tego y na lewą strone. Mam nadzieję, że mi pomożecie. Z góry dziękuję

Twoje równanie nie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, tylko równaniem liniowym niejednorodnym. Rozwiązać je można na przykład metodą uzmienniania stałej.

Q.

Jeżeli istnieje taka możliwość to proszę o sprawdzenia czy poprawnie rozwiązałem, z góry dziękuję za sprawdzenie

\(\displaystyle{ 1. t ^{2}y \prime -2ty=9\ln t}\)

\(\displaystyle{ t ^{2} \frac{dy}{dt} y -2ty=0}\)

\(\displaystyle{ t ^{2} \frac{dy}{dt} =2ty/ \cdot dt}\)

\(\displaystyle{ t ^{2} dy=2tydt/:y}\)

\(\displaystyle{ \frac{t ^{2}dy }{y}=2dtdt /: t^{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}=2 \frac{tdt}{t ^{2} }/ \int_{}^{}}\)

\(\displaystyle{ \ln\left| y\right|=2 \ln\left| t\right|+ C/e ^{(...)}}\)

\(\displaystyle{ y=Ct ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 2.y=C(t) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ y \prime=(C(t) t^{2} ) \prime= C \prime(t) ^{2} +2tC(t)}\)

\(\displaystyle{ 3. t ^{2} \cdot (C \prime(t)t ^{2}+2tC(t)) -2t(C(t)t ^{2}) =9 \ln t}\)

\(\displaystyle{ C \prime (t) t ^{4}=9 \ln t}\)

\(\displaystyle{ C(t)= \int_{}^{} \frac{9lnt}{t ^{4} } dt}\)

\(\displaystyle{ 9\int_{}^{} \frac{1}{t ^{4} } \cdot \ln tdt=\left| u= \ln t,du= \frac{1}{t}dt \right|=- \frac{9}{2t ^{2} }+C}\)

\(\displaystyle{ C(t)=- \frac{9}{2t ^{2}}+C}\)

\(\displaystyle{ y=( \frac{-9}{2t ^{2} }+C)t ^{2}}\)