Zmienna losowa X ma gęstość. Oblicz.....
: 29 maja 2012, o 15:45
Witam,
Zadanie:
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f(x)}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}ax-1, \qquad x\in(2;4)\\0, \qquad x\not\in \(2;4)\end{cases}}\)
wyznaczyć:
1) parametr a
2) \(\displaystyle{ E(X)}\)
3) \(\displaystyle{ D^{2}(X)}\)
4) \(\displaystyle{ P(X\in[1;3])}\)
ad 1
Sprawdzamy dla jakich a spełnia nierówność \(\displaystyle{ \int_{2}^{4} (ax-1)dx=1}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \int_{2}^{4} (ax-1)dx= \frac{a x^{2} }{2}+x |^{4}_{2} dx=8a+4-2a-2=6a+2}\)
\(\displaystyle{ 6a+2=1}\) czyli
\(\displaystyle{ a=- \frac{1}{6}}\)
trzeba chyba jeszcze sprawdzić czy funkcja \(\displaystyle{ f(x)>0 dla x\in R}\). Jak to zrobić ?
Licząc \(\displaystyle{ - \frac{1}{6}x-1>0 => x<-6}\)
ad 2
dystrybuanta
\(\displaystyle{ F(X)= \int_{1}^{ x_{0}} - \frac{1}{6}x -1 dx = - \frac{ x^{2} }{12} -x |^{x _{0} }_{1} =- \frac{x^{2}_{0}}{12} - x_{0}+ \frac{13}{12}}\)
wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ E(X)= \int_{2}^{4} x( -\frac{1}{6}x -1) dx= \int_{2}^{4}- \frac{1}{6} x^{2} -x dx = -\frac{ x^{3} }{18} - \frac{ x^{2} }{2} |^{4}_{2} = -\frac{64}{18} -\frac{16}{2} +\frac{8}{18} + \frac{4}{2}=- \frac{164}{18}}\)
nie wiem czy dobrze że wartość oczekiwana jest ujemna ;/
ad 3
\(\displaystyle{ D^{2}(X)= \int_{-\infty}^{\infty}(x E(X))^{2}f(x) dx}\)
ad 4
\(\displaystyle{ P(1<X<3)=F(X=3)-F(X=1)=- \frac{9}{12}-3+ \frac{13}{12} + \frac{1}{12} + 1 - \frac{13}{12} = - \frac{16}{6}}\)
Proszę o pomoc ;/
Zadanie:
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f(x)}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}ax-1, \qquad x\in(2;4)\\0, \qquad x\not\in \(2;4)\end{cases}}\)
wyznaczyć:
1) parametr a
2) \(\displaystyle{ E(X)}\)
3) \(\displaystyle{ D^{2}(X)}\)
4) \(\displaystyle{ P(X\in[1;3])}\)
ad 1
Sprawdzamy dla jakich a spełnia nierówność \(\displaystyle{ \int_{2}^{4} (ax-1)dx=1}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \int_{2}^{4} (ax-1)dx= \frac{a x^{2} }{2}+x |^{4}_{2} dx=8a+4-2a-2=6a+2}\)
\(\displaystyle{ 6a+2=1}\) czyli
\(\displaystyle{ a=- \frac{1}{6}}\)
trzeba chyba jeszcze sprawdzić czy funkcja \(\displaystyle{ f(x)>0 dla x\in R}\). Jak to zrobić ?
Licząc \(\displaystyle{ - \frac{1}{6}x-1>0 => x<-6}\)
ad 2
dystrybuanta
\(\displaystyle{ F(X)= \int_{1}^{ x_{0}} - \frac{1}{6}x -1 dx = - \frac{ x^{2} }{12} -x |^{x _{0} }_{1} =- \frac{x^{2}_{0}}{12} - x_{0}+ \frac{13}{12}}\)
wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ E(X)= \int_{2}^{4} x( -\frac{1}{6}x -1) dx= \int_{2}^{4}- \frac{1}{6} x^{2} -x dx = -\frac{ x^{3} }{18} - \frac{ x^{2} }{2} |^{4}_{2} = -\frac{64}{18} -\frac{16}{2} +\frac{8}{18} + \frac{4}{2}=- \frac{164}{18}}\)
nie wiem czy dobrze że wartość oczekiwana jest ujemna ;/
ad 3
\(\displaystyle{ D^{2}(X)= \int_{-\infty}^{\infty}(x E(X))^{2}f(x) dx}\)
ad 4
\(\displaystyle{ P(1<X<3)=F(X=3)-F(X=1)=- \frac{9}{12}-3+ \frac{13}{12} + \frac{1}{12} + 1 - \frac{13}{12} = - \frac{16}{6}}\)
Proszę o pomoc ;/