Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{xdx}{1-x}}\)



\(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{dx}{e ^{2x} +1}}\)

robie podstawienia i w pewnym momencie wychodzi mi

\(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{tdt}{t}}\) nie tylko to oczywiście, moje pytanie brzmi? czy z tego całka to t czy x? Wydaje mi się , że t, ale wtedy nie wychodzi poprawny wynik. Może ktoś pomóc? Rozwiązać to?

licznik masz źle podstawiony
chyba powinno być tak
\(\displaystyle{ \int\frac{-t+1}{t}(-dt)=\int 1 dt-\int\frac{1}{t}dt=t-\ln |t|+C=x-1+\ln|x-1|+C}\)

jak się nie mylę

tak samo mi wyszło a w Matlabie jest: \(\displaystyle{ -x-ln(x-1)+C}\)

w takim razie powoli i może trochę sprytniej

\(\displaystyle{ \int\frac{x}{1-x}=-\int\frac{-x}{1-x}dx=-\int \frac{1-x-1}{1-x}dx=-\int\left(\frac{1-x}{1-x}+ \frac{1}{1-x}\right)dx=-\int dx - \int \frac{1}{x}=-x -\ln|1-x|+C}\)

podtawienie też przeliczyć??

-- 29 maja 2012, o 15:06 --

\(\displaystyle{ t=1-x \Leftrightarrow t-1=-x \Leftrightarrow 1-t=x}\)

\(\displaystyle{ dt=-dx}\)

\(\displaystyle{ -dt=dx}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{x}{1-x}dx=\int\frac{1-t}{t}(-dt)=-\int\frac{1}{t}dt+\int dt=-\ln|t|+t+C

=-\ln|1-x|+1-x+C}\)

już widzę, że źle do pierwsze zmiennej wróciłem

Czermu 2 różne wyniki?

takie same. stała nie ma znaczenia \(\displaystyle{ C=C+1}\)

tą jedynkę można wrzucić do stałej \(\displaystyle{ C}\)

Aaaaaa no tak, dzięki. a w drugim? tam już nie ma różnicy w stałych po podstawieniu \(\displaystyle{ t=e^{2x} +1}\) wychodzi mi: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{t-1}{t}}\) czyli wynik:\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(e ^{2x}+1)- \frac{1}{2} ln( e^{2x}+1)}\)

wynik dla mnie dobry