Matematyka.pl

Witam jak policzyc moment bezwladnosci trojkata np. prostokatnego wzgledem dowolnej osi np przechodzacej a) przez srodek ciezkosci trojkata b) przeciwprostokatna? Widzialem rozwiazanie z calka podwojna ale nie umiem calek podwojnych tzn nie mielismy jeszcze. Widzialem tam calke z niczego czyli calka z dx. Ile to wynosi? Moglby ktos to wszystko na chlopski rozum wytlumaczyc?

www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=80660 taka calke wiem trzeba policzyc

Elementarne wyprowadzenie wzoru na moment bezwładności trójkąta wzgl. jego środka ciężkości.
1.Mamy prostokąt o wymiarach: wysokość h i podstawie b.
2.Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty. Moment bezwładności trójkąta wzgl. osi \(\displaystyle{ x_{1}}\) -(oś przechodząca przez środek ciężkości prostokąta) jest połową momentu bezwładności prostokąta
\(\displaystyle{ J_{x1}= \frac{1}{2} \cdot \frac{b \cdot h^{3} }{12}= \frac{b \cdot h^{3} }{24}}\)
3. Teraz skorzystamy z tw. Steinera. Kreślimy oś \(\displaystyle{ x}\) przech. przez środek cięzkości trójkąta i równoległą do osi \(\displaystyle{ x_{1}}\)
Uwaga! przechodzimy z osi dowolnej \(\displaystyle{ x_{1}}\)do osi środkowej \(\displaystyle{ x_{}}\) - bowiem przechodzi przez ona przez środek ciężkości trójkąta.
\(\displaystyle{ J_{x}=J_{x1}- S \cdot a^{2}}\), gdzie S pole powierzchni trójkąta, a- odległość między osiami \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{}}\)
4.Środek ciężkości trójkąta leży w odległości \(\displaystyle{ \frac{h}{3}}\)od podstawy, czyli \(\displaystyle{ a= \frac{h}{6}}\)
5. Wstawiając do wzoru po przekształceniach otrzymasz \(\displaystyle{ J_{x}= \frac{b \cdot h^{3} }{36}}\)

-- 27 maja 2012, o 22:11 --

Pomocny rysunek: