Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą niezależne. Załóżmy, że \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1]}\),\(\displaystyle{ X}\) ma gęstość wykładniczą \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2} e^{- \frac{1}{2}x }}\). Wylicz dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X+Y}\) gęstość dystrybuanty jej rozkładu.

Jak to zrobić korzystając z funkcji tworzących?

Z tego co pamiętam, dla zmiennyc niezależnych funkcja tworząca sumyzmiennych losowych jest równa iloczynowi funkcji tworzących poszczególnych zmiennych. Stąd muszisz policzyć funkcje tworzące dla rozkładów obu zmiennych losowych a następnie je pomnożyć i ocenić na podstawie uzyskanej funkcji tworzącej, co to jest za rozkład.

Znalazłem funkcje charakterystyczne obu zmiennych losowych, i otrzymałem funkcję tworzącą dla zmiennej losowej\(\displaystyle{ X+Y}\):

\(\displaystyle{ \varphi _{X+Y}(t) = \frac{e^{it} - 1}{it + 2t^2}}\)

co z tym dalej zrobić?