Ortogonalność macierzy - dowody.
: 27 maja 2012, o 10:17
Witam.
Mam problem z następującymi zadaniami. Proszę o weryfikację dotychczasowych obliczeń, oraz o pomoc w 1 zadaniu.
1) Wykaż że macierz A jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A^{T}}\) jest ortogonalna.
Nie mam żadnego sensownego pomysłu na dobranie się do tego.
2) Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to macierze ortogonalne. Pokaż, że \(\displaystyle{ AB}\) jest także macierzą ortogonalną.
Czy tutaj sprawa wyglądać może tak:
Wiemy że:
1) \(\displaystyle{ A^{T} \cdot A = A \cdot A^{T} = I}\)
2) \(\displaystyle{ (AB)^T = B^T \cdot A^T}\)
zatem:
\(\displaystyle{ (AB) \cdot (AB)^T = A \cdot B \cdot B^T \cdot A^T}\)
Z definicji:
\(\displaystyle{ B \cdot B^T = I}\)
\(\displaystyle{ (AB) \cdot (AB)^T = A \cdot I \cdot A^T = I}\) - co należało udowodnić.
3) Udowodnij, że jeśli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest ortogonalna, to \(\displaystyle{ A^{-1} = A^T}\)
Z definicji macierzy jednostkowej:
\(\displaystyle{ I = A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A}\)
Z definicji macierzy ortogonalnej:
\(\displaystyle{ I = A \cdot A^T = A^T \cdot A}\)
A więc:a
\(\displaystyle{ A \cdot A^{-1} = A \cdot A^T}\)
\(\displaystyle{ A^{-1} = A^T}\)- co należało udowodnić.
Mam problem z następującymi zadaniami. Proszę o weryfikację dotychczasowych obliczeń, oraz o pomoc w 1 zadaniu.
1) Wykaż że macierz A jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A^{T}}\) jest ortogonalna.
Nie mam żadnego sensownego pomysłu na dobranie się do tego.
2) Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to macierze ortogonalne. Pokaż, że \(\displaystyle{ AB}\) jest także macierzą ortogonalną.
Czy tutaj sprawa wyglądać może tak:
Wiemy że:
1) \(\displaystyle{ A^{T} \cdot A = A \cdot A^{T} = I}\)
2) \(\displaystyle{ (AB)^T = B^T \cdot A^T}\)
zatem:
\(\displaystyle{ (AB) \cdot (AB)^T = A \cdot B \cdot B^T \cdot A^T}\)
Z definicji:
\(\displaystyle{ B \cdot B^T = I}\)
\(\displaystyle{ (AB) \cdot (AB)^T = A \cdot I \cdot A^T = I}\) - co należało udowodnić.
3) Udowodnij, że jeśli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest ortogonalna, to \(\displaystyle{ A^{-1} = A^T}\)
Z definicji macierzy jednostkowej:
\(\displaystyle{ I = A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A}\)
Z definicji macierzy ortogonalnej:
\(\displaystyle{ I = A \cdot A^T = A^T \cdot A}\)
A więc:a
\(\displaystyle{ A \cdot A^{-1} = A \cdot A^T}\)
\(\displaystyle{ A^{-1} = A^T}\)- co należało udowodnić.