Poprawność definicji

michal422 · Post autor: **michal422** » 27 maja 2012, o 07:22

Oceń poprawność definicji (czy jest za wąska, za szeroka, nadmierna):

Dwie figury nazywamy podobnymi, gdy mają odpowiednio równe kąty i boki odpowiednio proporcjonalne.

Czy nie wystarczy stwierdzić,że: Dwie figury nazywamy podobnymi, gdy mają odpowiednio równe kąty.

lub

Dwie figury nazywamy podobnymi, gdy mają boki odpowiednio proporcjonalne?

Czy wystarczy,by figury spełniały jeden z warunków,aby były podobne?

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 27 maja 2012, o 07:31

Nie wiem, czy rozważacie takie przykłady, ale... co z np. okręgiem? Nie można mówić tu ani o bokach, ani kątach, a przecież okręgi podobne możemy wyróżniać.

michal422 · Post autor: **michal422** » 27 maja 2012, o 07:44

Myślę, że chodzi głównie o definicję wielokątów podobnych.
Definicja trójkąta równobocznego w postaci:
Trójkąt równoboczny to trójkąt który ma boki równej długości i kąty równej miary. -jest to definicja nadmierna. Czy jeśli o podaną definicje podobieństwa nie jest podobnie?

Jaki jest pojęcie nadrzędne względem podobieństwa?-- 27 maja 2012, o 07:46 --Jeśli chodzi o okrąg to często określa się niezmienniki określające jednoznacznie grupę podobieństw:
-stosunek długości odcinków,
-równość odcinków,
-miara kąta,
-prostokąt,
-okrąg, koło,
-sfera, kula.

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 27 maja 2012, o 07:57

Czy jeśli o podaną definicje podobieństwa nie jest podobnie?

Tak, w przypadku wielokątów możemy uprościć definicję, ograniczając się jedynie do kątów (nie samych) bądź boków.

Jaki jest pojęcie nadrzędne względem podobieństwa?

Zbiory figur izomorficznych w przestrzeni afinicznej (czyli takich, dla których istnieje izomorfizm przeprowadzający jedną figurę na drugą). Mówiąc obrazowo, to są takie figury, które możemy także i rozciągać na różne strony (niekoniecznie proporcjonalnie) za pomocą powinowactw osiowych.

EDIT: poprawiono nieścisłość.

michal422 · Post autor: **michal422** » 27 maja 2012, o 08:11

Dziękuję
W szkole często podkreśla się że każde koło, kula, sfera, okrąg, prostokąt są podobne. A następnie podaje się definicje podobieństwa, w postaci takiej jaką mam ocenić - nie ma to seansu.

A czy izometria jest pojęciem nadrzędnym względem podobieństwa?

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 27 maja 2012, o 08:22

Nie, izometria mówi o tym, iż zachowane są długości odcinków i krzywych, co oczywiście nie zachodzi dla jednokładności, które jest podobieństwem. Poprzez izometrię możemy rozumieć przystawanie.

michal422 · Post autor: **michal422** » 27 maja 2012, o 08:30

A w przypadku figur przestrzennych - definicja jest również nadmierna? tzn. wystarczy przystawanie katów,aby określić podobieństwo?
Wydaje mi się że tak ponieważ powstają,albo są zbudowane z figur płaskich,albo powstają przez obrót figur płaski wiec wystarczy by one były podobne.

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 27 maja 2012, o 08:40

Nie znam żadnego kontrprzykładu, powinno tak być.

Zaznaczyłbym, iż np. zarówno prostokąty, jak i kwadraty mają takie same kąty, a więc bezpieczniejsza jest wersja z bokami; w ogólności same kąty nie wystarczają (no chyba, że za kąt uznajemy także wierzchołek, z którym ten kąt jest związany ).

michal422 · Post autor: **michal422** » 27 maja 2012, o 08:53

Więc wystarczy napisać o stosunku boków, informacja o kątach jest zbędna, z czego wynika, że definicja jest nadmierna.

Przepraszam,że zawracam głowe,ale miałbym jeszcze jedno zadanie:
Zapisz twierdzenie Talesa i przekształć je aby prezentowały funkcje logiczne(moje rozwiązania):

a)\(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\)

Tw. Talesa:
Jeżeli dwie półproste a, b o wspólnym początku w punkcie O przetniemy dwiema prostymi równoległymi k, l

(gdzie\(\displaystyle{ a \cap k = A, \ \ a \cap l=B, \ \ b \cap k=A', \ \ b \cap l=B'}\))

to

\(\displaystyle{ \frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OA'|}{|OB'| }}\)

b)\(\displaystyle{ q \Rightarrow p}\)
Jeżeli
\(\displaystyle{ \frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OA'|}{|OB'| }}\)
to dwie półproste a, b o wspólnym początku w punkcie O są przecięte dwiema prostymi równoległymi k, l (gdzie\(\displaystyle{ a \cap k = A, a \cap l=B, b \cap k=A', b \cap l=B'}\))

c)\(\displaystyle{ \neg p \Rightarrow \neg q}\)
Jeżeli dwie półproste a, b o wspólnym początku w punkcie O nie są przecięte dwiema prostymi równoległymi k, l (gdzie \(\displaystyle{ a \cap k = A, a \cap l=B, b \cap k=A', b \cap l=B'}\)) to nie zachodzi stosunek:
\(\displaystyle{ \frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OA'|}{|OB'| }}\)

d)\(\displaystyle{ \neg q \Rightarrow \neg p}\)
Jeżeli stosunek
\(\displaystyle{ \frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OA'|}{|OB'| }}\)
nie zachodzi to dwie półproste a, b o wspólnym początku w punkcie O nie są przecięte dwiema prostymi równoległymi k, l (gdzie\(\displaystyle{ a \cap k = A, a \cap l=B, b \cap k=A', b \cap l=B'}\)).

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 27 maja 2012, o 09:13

Dwa pierwsze słownie są ok (chociaż w drugim oznaczenia powinny się pojawić na początku, wraz z \(\displaystyle{ a\cap b = O}\), to samo dotyczy pozostałych - musisz jasno wskazać założenia, poprzednik oraz następnik implikacji). W kolejnych musisz zanegować cały poprzednik implikacji:

Jeżeli nie jest prawdą, że dwie półproste \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) o wspólnym początku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) przetniemy dwiema prostymi równoległymi \(\displaystyle{ k}\), \(\displaystyle{ l}\).

Co może znaczyć także, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nie mają wspólnego początku lub proste te nie są przecięte dwoma prostymi równoległymi tak oznaczonymi. Równie dobrze \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) mogą być przecięte przez dwie proste równoległe, ale oznaczone \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) . Żeby tego uniknąć, na samym początku powiedz, co jest dane i oznaczone.

michal422 · Post autor: **michal422** » 27 maja 2012, o 11:47

Negacje wstawiłem w takim miejscu ponieważ :dwie półproste a, b o wspólnym początku w punkcie O traktuje jako kąt (po prostu jest to definicja kąta), równie dobrze mogłem napisać że jeżeli kąt przecięto dwiema prostymi równoległymi...
Czy takie rozumowanie jest poprawne?

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 27 maja 2012, o 11:55

kąt przecięto dwiema prostymi równoległymi

Kątów się nie dzieli prostymi równoległymi tylko (pół)proste, które je tworzą.

Co traktujesz jako dane? Układ dwóch półprostych o wspólnym początku? Same proste \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)? Od tego zależy dalsza konstrukcja zdań logicznych. Jeżeli niczego na początku nie przyjmujesz, to negowanie całego poprzednika implikacji jest równoważne z niespełnieniem chociażby jednego warunku (np. \(\displaystyle{ a \cap k = A}\)).

michal422 · Post autor: **michal422** » 27 maja 2012, o 12:04

Jako dane traktuję - układ dwóch półprostych o wspólnym początku.Wyżnej źle napisałem nie traktuje tego jako kąta,ale ramiona kąta.

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 27 maja 2012, o 12:10

Wtedy jest ok. Dla klarowności zapisu zamiast "gdzie... [tu oznaczenia]" napisałbym "takich, że".

michal422 · Post autor: **michal422** » 27 maja 2012, o 12:19

Właśnie dlatego napisałem że dwie półproste (jako ramiona kata), bo wydaje mi się ze gdybym napisał że jeżeli część płaszczyzny wyciętą przez dwie pół proste o wspólnym początku przetniemy...
W Twierdzeniu Talesa (przynajmniej w szkole) zakłada się że przecinamy ramiona kata (w ogóle nie mówi się o przypadku w którym półproste stanowiące ramiona kata nie przecinają się).

Dziękuję Ci bardzo za pomoc

Pozdrawiam !