Matematyka.pl

ile istnieje par liczb rzeczywistych x, y spełniających układ równań:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1\\xy=1}\)

rozwiązywałam układ równań metodą podstawiania i wyszło coś takiego:

\(\displaystyle{ x^{2}=1-y^{2}\\xy=1}\)

\(\displaystyle{ x=\sqrt{1-y^{2}}\\xy=1}\)

\(\displaystyle{ x=\sqrt{1-y^{2}}\\y\sqrt{1-y^{2}}=1}\)

i zacięłam się.... czy ja to w ogóle dobrze liczę?


albo jeszcze druga wersja:
drugie równanie pomnożyłam przed 2

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1\\2xy=2}\)

potem dodałam stronami:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+2xy=1+2\\x^{2}+2xy+y^{2}=3\\(x+y)^{2}=3\\x+y=\sqrt{3}}\)


co dalej?
które rozwiązanie lepsze? przy pierwszym - już nie wiem co z tym dalej.
jak mam znaleźć te pary liczb rzeczywistych?

Ja bym raczej wyliczył zmienną z 2 równania i wstawił do 1 (bo x i y muszą być róźne od zera), czyli mamy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=1\\x=\frac{1}{y}\end{array}\right.\\
x^2+\frac{1}{x^2}=1\\x^4+1=x^2}\)
i masz równanie dwukwadratowe

\(\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{c}
x^2+y^2=1\\
xy=1\\
\end{array}\right.}\)

Wyznaczmy z drugiego równania \(\displaystyle{ x}\) przy założeniach \(\displaystyle{ x,y\neq 0}\)
i wstawiamy do pierwszego równania (równania okręgu). Dostajemy:

\(\displaystyle{ y^4-y^2+1=0}\)
i rozwiązujemy równanie dwukwadratowe podstawiając \(\displaystyle{ q=y^2}\)

Mamy ostatecznie, że brak rozwiązań w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

A może:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=1\\
2xy=2\\
x^2+y^2-2xy=1-2\\
(x-y)^2=-1}\)
?

Można również geometrycznie:
Narysować okrąg o środku w punkcie (0,0) i promieniu długości 1 oraz hiperbolę \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x}}\) i wyciągnąć stosowne wnioski.

hmmm a która z tych propozycji na rozwiązanie jest wykonalna dla kogoś kto chodzi do 3gim i o funkcjach kwadratowych słyszał tyle, że są i jak wygląda ich wykres?

Które z rozwiązań jest dla Ciebie najbardziej zrozumiałe - to już najlepiej rozstrzygnij sama. Jeśli mogę coś tylko skromnie zasugerować, to tutaj:

*Kasia pisze:\(\displaystyle{ x^2+y^2=1\\
2xy=2\\
x^2+y^2-2xy=1-2\\
(x-y)^2=-1}\)

korzystając tylko z wzoru skróconego mnożenia otrzymujesz sprzeczność, czyli układ nie ma rozwiązań. (Nie musisz wiedzieć nic o równaniach kwadratowych, równaniach okręgu, ani hiperbolach.)