Matematyka.pl

Czy istnieje homomorfizm:

1. Dowolna bijekcja pomiędzy \(\displaystyle{ \left[0,1\right]^2 \subset \RR^2 \wedge \left[0,1 \right)^2 \subset \RR^2}\)

2. \(\displaystyle{ X,Y}\), jeśli istnieje ciągła bijekcja \(\displaystyle{ X \rightarrow Y}\)oraz ciągła bijekcja \(\displaystyle{ Y \rightarrow X}\)

Zbiór \(\displaystyle{ [0,1]\times [0,1]}\) jest zwarty, natomiast zbiór \(\displaystyle{ [0,1) \times [0,1)}\) nie jest zwarty, z topologią euklidesową.

I to wystarcza na to, aby te dwa zbiory nie były homeomorficzne?
W sumie racja, homeomorfizm zachowuje zwartość...

Co do 2., to istnieje ciągła bijekcja z odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\) na kwadrat \(\displaystyle{ [0,1]^2}\) (tzw. krzywa Peano, space-filling curve) oraz istnieje ciągła bijekcja z kwadratu \(\displaystyle{ [0,1]^2}\) na odcinek \(\displaystyle{ [0,1]}\) (np. rzut na pierwszą współrzędną), ale przestrzenie te nie są homeomorficzne.

Ein pisze:istnieje ciągła bijekcja z kwadratu \(\displaystyle{ [0,1]^2}\) na odcinek \(\displaystyle{ [0,1]}\) (np. rzut na pierwszą współrzędną)

To nie jest bijekcja.