Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a, b \in N}\) i \(\displaystyle{ a \neq 1,b \neq 1}\), gdzie \(\displaystyle{ a^{9a}=b^{2b}}\). Znaleźć minimum \(\displaystyle{ ~ 2a+b}\).

darek20 pisze:Niech \(\displaystyle{ a, b \in N}\) i \(\displaystyle{ a \neq 1,b \neq 1}\), gdzie \(\displaystyle{ a^{9a}=b^{2b}}\). Znaleźć minimum \(\displaystyle{ ~ 2a+b}\).

Zadanie ze \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych

No i z tego, że: \(\displaystyle{ a^{9a}= b^{2b}}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq 1 \neq b}\) wynika, iż
\(\displaystyle{ p | a}\) oraz \(\displaystyle{ p | b}\) sa równowazne; gdy \(\displaystyle{ p \in P}\)
\(\displaystyle{ a= p_1^{\alpha_1}.... p_n^{\alpha_n}}\) oraz \(\displaystyle{ b=p_1^{\beta_1}.... p_n^{\beta_n}}\) oraz:

\(\displaystyle{ \frac{\alpha_1}{\beta_1}=....=\frac{\alpha_n}{\beta_n} =\frac{2b}{9a}=q \in Q}\)
tj.

\(\displaystyle{ a=b^q}\) czyli że
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=c^n \\ b=c^m\end{cases}}\)
i \(\displaystyle{ m>n}\), \(\displaystyle{ c> 1}\)

Po zastosowaniu tego do \(\displaystyle{ a^{9a}= b^{2b}}\) i uproszczeniach:

\(\displaystyle{ 9n = 2m c^{m-n}}\), i jest np. takie tego rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} m=3\\n=2\\c=3\end{cases}}\), i wtedy
\(\displaystyle{ a= 9 \ b= 27}\) (i \(\displaystyle{ a^{9a}=b^{2b}= 3^{162}}\))
i \(\displaystyle{ 2a+b = 45}\)

Jeśli zaś \(\displaystyle{ c=2}\) to \(\displaystyle{ m \geq 9}\).
A wiec minimum to \(\displaystyle{ 45}\)