Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{1}{\sin x} \right) = \sqrt{1 - x^2}}\)

rozpisałby ktoś przekształcenie?

[ciach]
poszukaj wzoru i skorzystaj

JB

To równanie nie ma trywialnych rozwiązań. Skorzystamy z tożsamości:

\(\displaystyle{ \cos(\arcsin x)= \sqrt{1 - x^2}}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{1}{\sin x}\right) =\cos(\arcsin x)}\)

Do rozwiązania pozostaje:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin x}+2k\pi = \arcsin x}\)

dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\). Jeżeli niczego nie przeoczyłem, to nie istnieją takie liczby wymierne \(\displaystyle{ q,p,r}\), że \(\displaystyle{ q^r \pi^p}\) jest rozwiązaniem powyższego równania. Tym niemniej jest ich nieskończenie wiele.

źle napisałem, nie chodziło mi o znalezienie iksa tylko o tę tożsamość wlaśnie, jak z lewej doszliśmy na prawą stronę

To, co napisałeś, nie jest tożsamością. Tam było zapewne \(\displaystyle{ \sin^{-1} x}\), co wpisałeś jako \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin x}}\) zamiast \(\displaystyle{ \arcsin x}\), jak mniemam. Jeżeli tak, to:

\(\displaystyle{ \arcsin x = a\\
\sin a = x\\
\cos a =\sqrt{1-\sin^2 a}}\).