Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) bedzie funkcja, ktorej wykres ma srodek symetrii \(\displaystyle{ A}\). Wykaz ze punkt \(\displaystyle{ A}\) nalezy do wykresu funkcji

Przykład funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\)
, której wykres ma środek symetrii wskazuje, że nie musi należeć on do wykresu.

ale D nie jest zbior R

Teoria:
Niech w symetrii środkowej, względem punktu \(\displaystyle{ S(s_{1}, s_{2})}\) punkt \(\displaystyle{ P'(x', y')}\) będzie obrazem punktu \(\displaystyle{ P(x, y)}\). Wtedy zależność między współrzędnymi tych punktów wyraża się wzorami:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x' = 2s_{1} - x\\
y' = 2s_{2} - y\end{array}\right.}\)
(dowód można przeprowadzić wprost z definicji symetrii środkowej, wykorzystując tw Pitagorasa).

Rozwiązanie zadanka:
Niech \(\displaystyle{ A = (a, b)}\).
Ponieważ punkt ten jest środkiem symetrii wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) to powinno być:
\(\displaystyle{ f(2a - x) = 2b - f(x)}\)
Stąd, dla \(\displaystyle{ x = a}\) mamy:
\(\displaystyle{ f(2a - a) = 2b - f(a)\\
2f(a) = 2b\\
f(a) = b}\)
a zatem punkt \(\displaystyle{ A(a,b)}\) należy do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\). c.b.d.o.