Matematyka.pl

Funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) dana jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)=(x-1)^2 -1}\)

Definiujemy relację równoważności \(\displaystyle{ \sim}\) na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) wzorem:
\(\displaystyle{ x \sim y \Leftrightarrow \left( f(x)>0 \Leftrightarrow f(y)>0 \right)}\).

Wyznaczyć wszystkie klasy abstrakcji relacji \(\displaystyle{ \sim}\).

No i tu mam problem. Wydaje mi się, że będą dwie, jedna jednoelementowa dla \(\displaystyle{ x=1}\), a druga dwuelementowa dla \(\displaystyle{ x\in \left( - \infty ,1\right) \cup \left( 1, + \infty \right)}\). Dobrze myślę?

Źle myślisz - nie rozumiesz definicji klasy abstrakcji. Przecież klasy abstrakcji mają w sumie dać cały zbiór \(\displaystyle{ \mathbb R}\). Klasy abstrakcji będą istotnie dwie, by je wyznaczyć trzeba zrozumieć, jak działa relacja \(\displaystyle{ \sim}\).

Otóż dwie liczby będą w relacji, jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje na nich równocześnie wartości dodatnie lub równocześnie wartości niedodatnie. Żeby wyznaczyć klasy abstrakcji trzeba zatem wiedzieć, gdzie funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartości dodatnie.

JK

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartości dodatnie dla \(\displaystyle{ x \in(- \infty , 0) \cup (2, + \infty )}\). Więc to będzie pierwsza klasa abstrakcji tak?

Tak.

JK

Dziękuję za pomoc.