Szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny (p. Banacha)
: 12 maja 2012, o 18:01
Udowodnić, że w przestrzeni Banacha obowiązuje implikacja jak w temacie. Nie za bardzo wiedziałem jak za to się zabrać. Napisałem coś takiego:
Niech ciąg \(\displaystyle{ v_n\inV}\), gdzie V to przestrzeń Banacha.
Z definicji zbieżności szeregu, ciąg sum częściowych ma być ciągiem Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \forall_{\varepsilon > 0} \exists_{n_0 \in N} \forall_{n\geqslant n_0} \forall_{k\in N} \left \vert \sum_{i=n}^{n+k} v_i \right \vert < \varepsilon}\)
W takim razie ciąg zbieżny bezwzględnie spełnia:
\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{n+k} ||v_i|| < \varepsilon \\
\left\vert\left\vert\sum_{i=n}^{n+k} v_i \right\vert\right\vert \leq \sum_{i=n}^{n+k} ||v_i|| < \varepsilon \\}\)
I teraz czy mógłbym już powiedzieć, że nierówność \(\displaystyle{ \left\vert\left\vert\sum_{i=n}^{n+k} v_i \right\vert\right\vert < \varepsilon}\) to warunek na to, że ciąg \(\displaystyle{ v_n}\) jest ciągiem Cauchy'ego, a w przestrzeniach Banacha wszystkie ciągi Cauchy'ego są zbieżne?
Niech ciąg \(\displaystyle{ v_n\inV}\), gdzie V to przestrzeń Banacha.
Z definicji zbieżności szeregu, ciąg sum częściowych ma być ciągiem Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \forall_{\varepsilon > 0} \exists_{n_0 \in N} \forall_{n\geqslant n_0} \forall_{k\in N} \left \vert \sum_{i=n}^{n+k} v_i \right \vert < \varepsilon}\)
W takim razie ciąg zbieżny bezwzględnie spełnia:
\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{n+k} ||v_i|| < \varepsilon \\
\left\vert\left\vert\sum_{i=n}^{n+k} v_i \right\vert\right\vert \leq \sum_{i=n}^{n+k} ||v_i|| < \varepsilon \\}\)
I teraz czy mógłbym już powiedzieć, że nierówność \(\displaystyle{ \left\vert\left\vert\sum_{i=n}^{n+k} v_i \right\vert\right\vert < \varepsilon}\) to warunek na to, że ciąg \(\displaystyle{ v_n}\) jest ciągiem Cauchy'ego, a w przestrzeniach Banacha wszystkie ciągi Cauchy'ego są zbieżne?