Matematyka.pl

Jak udowodnić, że jeżeli środkowe w trójkącie są jednakowej długości to trójkąt jest równoboczny ?

Pozdrawiam i dziękuję za odpowiedzi

Korzystając z twierdzenia cosinusów łatwo można pokazać (spójrz np.tutaj ), że długość środkowej w trójkącie o bokach długości \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest równa \(\displaystyle{ m=\frac{1}{2} \sqrt{2b^2 +2c^2 -a^2}}\). Skoro środkowe są jednakowej długości, to zachodza następujące równości:
\(\displaystyle{ 2b^2 +2c^2 -a^2 =2c^2 +2a^2 - b^2 2c^2 +2a^2 - b^2= 2a^2+2b^2 - c^2 \\ 3b^2=3a^2 3c^2=3b^2 \\ a=b b=c}\)
Stąd wynika, że trójkąt ten jest równoboczny.

Wielkie dzięki.