Konwencja sumacyjna...

[Tomek_Fizyk-10]

Witam! Chciałbym zwrócić się do osób, które miały już z tym doczynienia i mogłyby podzielić się swoją wiedzą...

Chodzi o konwencję sumacyjną Einsteina. Czytałem już kilka lektur na ten temat, ale zbytnio ich nie zrozumiałem...
Jeśli ktoś mógłby przedstawić tę konwencję w miarę prostym języku, byłbym bardzo wdzięczny.

Z góry dzięki!

[Spektralny]

Sumujesz wszystko co się da, o ile ma to sens.

[ares41]

Tomek_Fizyk-10, to może podaj jakiś przykład którego nie rozumiesz to postaramy się to wytłumaczyć.

Najprościej jest to sobie wyobrazić na funkcjach wielomianowych.
np. zamiast pisać \(\displaystyle{ a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4= \sum_{i=1}^{4} a_ix^i}\) piszemy \(\displaystyle{ a_ix^i}\)

[Tomek_Fizyk-10]

\(\displaystyle{ a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4= \sum_{i=1}^{4} a_ix^i}\) piszemy \(\displaystyle{ a_ix^i}\)

To jest bardzo dobry przykład...
1. Nie rozumiem dlaczego w konwencji \(\displaystyle{ a_ix^i}\) nie uwzględnia się granic sumowania (w tym wypadku \(\displaystyle{ \left\langle 1 ; 4 \right\rangle}\) ).
Równie dobrze zapis \(\displaystyle{ a_ix^i}\) mógłbym zrozumieć, jako:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{100} a_ix^i}\)
2. W tym przykładzie akurat widać skąd się bierze indeks \(\displaystyle{ i}\).
Widziałem przykłady typu:
\(\displaystyle{ a _{ji} x ^{i}}\)
Jak mam to rozumieć? Co może oznaczać indeks \(\displaystyle{ j}\)?

[loitzl9006]

1. Nie rozumiem dlaczego w konwencji \(\displaystyle{ a_ix^i}\) nie uwzględnia się granic sumowania (w tym wypadku \(\displaystyle{ \left\langle 1 ; 4 \right\rangle}\)).

Granice sumowania przyjmujemy umownie i zależą one od rodzaju zjawiska fizycznego które opisujemy; ważne jest też, czy rozważane zagadnienie jest płaskie, czy 3D.

2. W tym przykładzie akurat widać skąd się bierze indeks \(\displaystyle{ i}\).
Widziałem przykłady typu:
\(\displaystyle{ a _{ji} x ^{i}}\)
Jak mam to rozumieć? Co może oznaczać indeks \(\displaystyle{ j}\)?

Jest taka zasada, która mówi tak: jeżeli widzisz, że w zapisie indeksowym jakiś indeks powtarza się dwa razy, to należy zsumować po tym indeksie, np. opisujemy jakieś zagadnienie 3D czyli

\(\displaystyle{ i=1,2,3 \\ j=1,2,3,}\)

używamy zapisu skróconego:

\(\displaystyle{ a _{ji} x ^{i}}\)

co jest równe

\(\displaystyle{ a _{j1} x ^{1} + a _{j2} x ^{2} + a _{j3} x ^{3}}\)

W ogóle zapis wskaźnikowy wprowadzono po to, by skrócić skomplikowane i długie zapisy.

Niech Cię nie mylą te \(\displaystyle{ 1,2,3}\) wyglądające jak wykładniki potęgowe. To \(\displaystyle{ x ^{1},x ^{2} , x ^{3}}\) ma raczej sens osi układu współrzędnych. Zamiast tradycyjnego oznaczenia osi \(\displaystyle{ x,y,z}\) używa się czasami zapisu \(\displaystyle{ x ^{1} , x ^{2} , x ^{3}}\).

Co do tego \(\displaystyle{ j}\), to jest oznaczenie używane do tensorów, możesz sobie poczytać więcej o tym np. tutaj:

[Tomek_Fizyk-10]

Indeksy można wstawiać w dowolne miejsca, czy jest jakaś zasada do tego?
Mam przykładowo szereg postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} (-1) ^{i} \cdot x ^{i} \frac{ \mbox{d ^{i} }f(x) }{ \mbox{d}x ^{i} } = -x \frac{ \mbox{d}f(x) }{ \mbox{d}x } + x ^{2} \frac{ \mbox{d ^{2} }f(x) }{ \mbox{d}x ^{2} } - ... + (-1) ^{n} \cdot x ^{n} \frac{ \mbox{d ^{n} }f(x) }{ \mbox{d}x ^{n} } = 0}\)

W konwencji sumacyjnej będzie to wyglądało, tak?
\(\displaystyle{ (-1) ^{i} \cdot x ^{i} \frac{ \mbox{d ^{i} }f(x) }{ \mbox{d}x ^{i} } = 0}\)

Ale podobno indeks nie może się powtarzać więcej niż dwa razy po jednej stronie równania... w takim razie jak to zapisać?

[AiDi]

Konwencję sumacyjną stosuje się głównie w teoriach pola i geometrii różniczkowej, gdzie z kontekstu jasno wynika po czym się sumuje. Indeksów się nie wstawia w dowolne miejsce, jest rozróżnienie na tensory p-krotnie kowariantne (p indeksów na dole) i q-krotnie kontrawariantnych (q indeksów na górze). Nie spotkałem się ze stosowaniem konwencji sumacyjnej w innych działach matematyki, prawdopodobnie w analizie matematycznej tego się nie robi. Konwencję tę Einstein stosował w konkretnym celu w konkretnych zagadnieniach, gdzie sumowanie po dwóch wskaźnikach było na tyle częste, że trzeba było jakieś uproszczenia wprowadzić. Więc wsadzanie tego gdzie się da nie ma sensu. Tyle