Matematyka.pl

Witam. Mam problem z rozwiązaniem całki. Doszedłem do takiego momentu w zadaniu w którym nie mogę jej policzyć. Liczę na drobną podpowiedź ;p

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \sqrt{1+ \frac{sinx}{cosx} } dx}\)

A nie powinno być czasem tak? Zakładam, że chcesz obliczyć długość łuku krzywej.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \sqrt{1+ \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} } dx=\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \sqrt{\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} } dx=\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \frac{1}{\cos x } \cdot \frac{\cos x}{\cos x} dx=}\)
\(\displaystyle{ =\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \frac{\cos x}{1-\sin^{2} x} dx=\begin{vmatrix} \sin x =t\\ \cos xdx=dt \end{vmatrix}=\int_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \frac{1}{1-t^{2}} dt=\arc \tgh t= \frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right|}\)
Teraz tylko trzeba podstawić granice.

hie hie No powinno

To w takim razie podstawienie uniwersalne \(\displaystyle{ \tg \frac{x}{2}=t}\).