Matematyka.pl

Zad.1
dla kazdego \(\displaystyle{ n\geqslant5:2^n\geqslant5n+1}\)

1. Dowód
\(\displaystyle{ n_0=5}\)
\(\displaystyle{ L=32}\)
\(\displaystyle{ P=26}\)

\(\displaystyle{ L\geqslant P}\) wiec \(\displaystyle{ n_0=5}\) spelnia nierownosc

2. Zalozenie indukcyjne (dla pewnego \(\displaystyle{ k\geqslant5}\))

\(\displaystyle{ 2^k\geqslant5k+1}\)

Teza indukcyjna (dla pewnego \(\displaystyle{ k+1}\))

\(\displaystyle{ 2^{k+1}\geqslant5(k+1)+1}\)

Dowod kroku indukcyjnego

\(\displaystyle{ 2^{k+1}=2^k+2^k\geqslant10k+12=5k+5k+12\geqslant5k+1}\)

z pkt 1 i 2 wynika prawdziwosc twierdzenia dla kazdej liczby \(\displaystyle{ n\geqslant5}\)


Zad 2
dla kazdego \(\displaystyle{ n\geqslant1:6|10^n+4^n-2}\)

1. Dowod
\(\displaystyle{ n_0=1}\)
\(\displaystyle{ 10^1+4^1-2=12}\)
\(\displaystyle{ 6|12}\)

2. Zalozenie indukcyjne (dla pewnego \(\displaystyle{ k\geqslant1}\))

\(\displaystyle{ 6|10^k+4^k-2}\)

Teza indukcyjna (dla \(\displaystyle{ k+1}\))

\(\displaystyle{ 6|10^{k+1}+4^{k+1}-2}\)

Dowod kroku indukcyjnego

\(\displaystyle{ 10^{k+1}+4^{k+1}-2=10^k*10+4*4^k-2=6*10^k-4*10^k+4*4^k-2=6*10^k-4(10^k+4^k)-2}\)

\(\displaystyle{ 6*10^k}\) jest podzielne przez 6

\(\displaystyle{ 4(10^k+4^k)-2=4(10^k+4^k-2)+6}\)

\(\displaystyle{ 4(10^k+4^k-2)+6}\) jest podzielne przez 6

z pkt 1 i 2 wynika prawdziwosc twierdzenia dla kazdej liczby \(\displaystyle{ n\geqslant1}\)

Pierwszy dowód jest całkowicie dobrze. Niestety w drugim jest błąd:
Piszesz, że \(\displaystyle{ 10 10^k +4 4^k -2=6 10^k - 4 10^k +4 4^k -2}\) co nie jest prawdą. Poprawnie powinno to wyglądać następująco:
\(\displaystyle{ 10 10^k + 4 4^k -2= 4 10^k + 4 4^k -8 + 6 10^k +6=4( 10^k +4^k -2) + 6( 10^k +1)}\). Wyrażenie w pierwszym nawiasie jest podzielne przez 6 z założenia, a drugi wyraz sumy jest wielokrotnością sześciu, co kończy dowód.

\(\displaystyle{ 10 10^k +4 4^k -2=6 10^k - 4 10^k +4 4^k -2}\) nie jest prawda, ale

\(\displaystyle{ 10 10^k +4 4^k -2=6 10^k + 4 10^k +4 4^k -2}\) juz prawda jest (pomylilem sie w znakach)

chodzi tylko to, ze wolny wyraz (6) nie znalazl sie w nawiasie z \(\displaystyle{ 10^k}\)?

Tak, dokładnie.