Matematyka.pl

Witam wszystkich! Muszę zadać jedno pytanie nurtujące mnie od kilku miesięcy... odnośnie światła, a właściwie energii, jaką niesie.

Chodzi mi głównie o to, jak opisać równaniem (funkcją) rozgrzewanie się przedmiotów "leżących na słońcu"?
Można to sprowadzić do takiego zagadnienia:
Na ciało fizyczne skierowane zostało natężenie światła \(\displaystyle{ I}\), które przekazywało temu ciału energię w czasie \(\displaystyle{ t}\). O jaką temperaturę rozgrzane zostało ciało, zakładając, że na początku miało temp. \(\displaystyle{ T _{0}}\)? Jak rosła temperatura tego ciała (jaką funkcją)?

Z góry dzięki za pomoc!

Wszystko zależy od zależności \(\displaystyle{ I}\) od czasu, a właściwie samej mocy. Załóżmy, że ciało to jakiś cienki 'krążek' o powierzchni \(\displaystyle{ S}\) i masie \(\displaystyle{ m}\), ustawiony prostopadle do padającego światła w dużej odległości \(\displaystyle{ R}\). Z definicji:
\(\displaystyle{ I(t)=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dE}{dt}}\),
gdzie \(\displaystyle{ dE/dt}\) to jest moc wypromieniowanej energii P(t), więc może zależeć ogólnie od czasu.
Energia pobrana przez ciało jest na sposób ciepła więc:
\(\displaystyle{ \frac{dQ}{dt}=S\cdot I(t)=\frac{S}{4\pi R^2}P(t)=mc_w\frac{dT}{dt}}\).
Rozwiązaniem takiego równania różniczkowego przy zadanych warunkach początkowych jest funkcja:
\(\displaystyle{ T(t)=T_0+\frac{S}{4\pi R^2mc_w}\int_{t_0}^{t}P(t')dt'}\).
Oczywiście przy założeniu, że \(\displaystyle{ \frac{dR}{dt}=0}\), ale zawsze można się pobawić i wziąć jakąś nietrywialną zależność odległości od czasu. Całka z mocy to oczywiście energia dostarczana ciału w czasie od \(\displaystyle{ t_0}\) do \(\displaystyle{ t}\).

Z definicji: \(\displaystyle{ I(t)=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dE}{dt}}\)

Czego to jest definicja? Pod jakim hasłem ją znajdę?

Nagrzewanie się zależy od właściwości tego ciała. AiDi założył, że cała energia jest pochłaniana, a przecież nie musi to być ciało doskonale czarne. Poza tym, aby dokładnie policzyć przyrost temperatury, trzeba uwzględnić też straty energii (stygnięcie, emisja).

Definicja natężenia fali - energia przekazywana przez falę w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni.
No ale żeby było dokładnie: jak uwzględnić wspomniane przez norwimaja efekty? Po pierwsze: zakładamy, że współczynnik absorpcji wynosi \(\displaystyle{ \eta}\), co oznacza, że tyle wynosi stosunek energii pochłoniętej i zamienionej na ciepło do 'padającej' energii całkowitej. Dalej: wypromieniowana przez rozważane ciało energia nie zależy jawnie od czasu. Zależy jawnie od temperatury \(\displaystyle{ E(T)}\) i poprzez nią od czasu. Mamy równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ mc_w\frac{dT}{dt}=\frac{\eta S}{4\pi R^2}P(t)-\frac{dE(T)}{dT}\frac{dT}{dt}}\),
mam jeszcze wątpliwości co do znaku, ale zawsze tak można dobrać znak \(\displaystyle{ E(T)}\) by było ok.

Co można byłoby powiedzieć jeszcze o mocy \(\displaystyle{ P(t)}\), jaki wzorek może mieć ta funkcja i od czego to by zależało?
Bo nie mając wzoru funkcji \(\displaystyle{ P(t)}\) nie da się rozwiązać powyższych równań różniczkowych, przez co nie dostanę wzoru na \(\displaystyle{ T(t)}\).

Zazwyczaj w zadaniach szkolnych zakłada się, że natężenie jest stałe, czyli moc jest po prostu liniową funkcją czasu.

Czyli w szkole mówi się, że Słońce wysyła stałe natężenie \(\displaystyle{ I(t)=constant}\).
A jak jest w rzeczywistości?

Dla odległości w jakich jest Ziemia, a nawet Merkury to jest bardzo dobre przybliżenie. Oczywiście temperatura Słońca się nieco różni od punktu do punktu, co zresztą widać patrząc na zdjęcia, więc odległościach bardzo bliskich to już stałe nie jest. Nieco dalej się to ładnie uśrednia.

Ale wciąż nie rozumiem, dlaczego dla małych odległości od Słońca natężenie nie jest stałe...?

Bo temperatura powierzchni Słońca fluktuuje w czasie i zależy od punktu. To jest "żywy organizm", plamy słoneczne, rozbłyski, itd. Jeśli zatrzymasz się nad jakimś obszarem, to jego temperatura będzie się nieco zmieniać w czasie. Przyjmując model ciała doskonale czarnego widać, że moc wypromieniowana w jednostkę powierzchni zależy od temperatury, zatem jeśli ta się zmienia, to i moc się zmienia. Przejdziesz nad inny punkt, będziesz miał nieco inną temperaturę.

Zatem to wszystko przez wybuchy na Słońcu... Gdybym wybrał sobie inne źródło światła, np. mocna żarówka świecąca na metalową czarną blaszkę, wtedy natężenie prawie wcale nie zależałoby od czasu, zgadza się?

Wracając jeszcze do obliczeń...
\(\displaystyle{ S}\) -> jest powierzchnią przez jaką przechodzi fala energii światła.
Zakładaliśmy, że światło pada prostopadle na krążek, wtedy \(\displaystyle{ S=4 \pi r ^{2}}\)
A czym jest \(\displaystyle{ R}\) w równaniu:

\(\displaystyle{ \frac{dQ}{dt}=S\cdot I(t)=\frac{S}{4\pi R^2}P(t)=mc_w\frac{dT}{dt}}\)

?

Odległością od źródła. Krążka wziąłem w ciapki , bo niekoniecznie to musi być krążek w sensie dosłownym. Coś cienkiego (czemu cienkiego?) co ma powierzchnię na którą pada światło równą S (dlatego nie wypisywałem S w sposób jawny.

Nie rozumiem jeszcze jednej rzeczy:

\(\displaystyle{ \frac{dQ}{dt}=S\cdot I(t)=\frac{S}{4\pi R^2}P(t)=mc_w\frac{dT}{dt}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dQ}{dt}}\) -> moc fali świetlnej
Definicja natężenia mówi, że:
\(\displaystyle{ \frac{dQ}{dt} = S\cdot I(t)}\)
i jednocześnie:
\(\displaystyle{ I(t) = \frac{P(t)}{A}}\)
teraz:
\(\displaystyle{ \frac{dQ}{dt} = \frac{S}{A} \cdot P(t)}\)
Z pierwszego równania wynika, że \(\displaystyle{ A = 4 \pi R ^{2}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest odległością ciała od źródła, to jaki sens fizyczny ma \(\displaystyle{ A}\)?

No Słońce wypromieniowuje światło w całą sferę. \(\displaystyle{ A}\) ma sens pola powierzchni tej sferę. Mamy tam stosunek \(\displaystyle{ S}\) do \(\displaystyle{ A}\) bo ten stosunek wyznacza część energii która pada na ciało.