Matematyka.pl

Pokazać, że funkcja

\(\displaystyle{ D(A) = \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) a_{\sigma(1)1}...a_{\sigma(n)n}}\)
dla \(\displaystyle{ A = [a_{ij}]_{n\times n}}\)

spełnia poniższy aksjomat wyznacznika:

jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ i}\) zachodzi \(\displaystyle{ A_i = A_{i+1}}\), gdzie \(\displaystyle{ A_i, A_{i+1}}\) są \(\displaystyle{ i}\)-tą oraz \(\displaystyle{ (i+1)}\)-szą kolumną macierzy \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ det(A_1, ..., A_n) = 0}\).

Musisz tylko dobrze zrozumieć co to jest permutacja i kiedy zmienia znak, wtedy natychmiast zauważysz, że oznaczając np. przez \(\displaystyle{ \sigma^+=(j_1,j_2,...j_i,j_{i+1},...,j_n)}\) a przez \(\displaystyle{ \sigma^-=(j_1,j_2,...j_{i+1},j_i,...,j_n)}\), że obie te permutacje mają przeciwne znaki(bo różnią się tylko o transpozycję). Ale jeżeli \(\displaystyle{ A_i = A_{i+1}}\), to \(\displaystyle{ a_{\sigma^+(1)1}...a_{\sigma^+(n)n}=a_{\sigma^-(1)1}...a_{\sigma^-(n)n}}\) więc
\(\displaystyle{ sgn(\sigma^+)a_{\sigma^+(1)1}...a_{\sigma^+(n)n}=-sgn(\sigma^-)a_{\sigma^-(1)1}...a_{\sigma^-(n)n}}\)
Teraz wystarczy wiedzieć, że jest tyle samo permutacji parzystych i nieparzystych i że można je pogrupować w pary takie jak napisane były wyżej