Matematyka.pl

Witam.
1. Czy pole magnetycznie wytwarzane przez przewodnik(nieskończenie długi drut) z prądem jest polem wirowym?
2. Nie wiem jak wyglądają linie pola wirowego, czym się charakteryzują. Użyłem wyszukiwarki i znalazłem link: ... 9#Examples , który jest mi nieprzydatny, bo wiem, który z obrazków przedstawia pole wirowe, a który nie(nie znam dobrze angielskiego). Nie interesuje mnie opis równaniami różniczkowym, sama ilustracja jakiś przykład.

Wydaje mi się że pola wirowe, to takie, którego linie są krzywymi zamkniętymi, ale nigdzie nie mogę tego znaleźć, więc pytam Was o pomoc.

Pozdrawiam i czekam na odpowiedź.

Tak, linie są wtedy zamknięte.

Też tak myślałem, ale coś mi się nie zgadza. Liczyłem rotację pola magnetycznego nieskończenie długiego przewodnika z prądem i wyszła mi zero, a więc według moich obliczeń jest to pole potencjale. Zapewne pomyliłem się gdzieś, czy moglibyście sprawdzić gdzie?
Oto ilustracja i moje obliczenia:


\(\displaystyle{ \vec{B}}\) - wektor indukcji magnetycznej
\(\displaystyle{ \varphi}\) - kąt
\(\displaystyle{ r}\) - promień
x - składowa promienia x
y - składowa promienia y

Kierunek przypływu prądu zgodny z kierunkiem osi z.
\(\displaystyle{ \vec{F} =rot \vec{B} = [ F_{x} , F_{y} , F_{z} ]}\)

\(\displaystyle{ F_{x} =0}\)

\(\displaystyle{ F_{y} =0}\)

\(\displaystyle{ F_{z} = \frac{ \partial \vec{ B_{y} } }{ \partial x} - \frac{ \partial \vec{ B_{x} } }{ \partial y}}\)

\(\displaystyle{ B= \frac{ \mu I}{2 \pi r}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \mu I}{2 \pi r} = \frac{a}{r} , a}\) - współczynnik proporcjonalności, \(\displaystyle{ I, \mu , \pi =const}\)

\(\displaystyle{ r= \sqrt{ x^{2} + y^{2} }}\)

\(\displaystyle{ B= \frac{a}{ \sqrt{ x^{2} + y^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ B_{x} = -Bsin \varphi = - \frac{a}{ \sqrt{ x^{2} + y^{2} }} \frac{y}{r} = - \frac{a}{ \sqrt{ x^{2} + y^{2} }} \frac{y}{ \sqrt{ x^{2} + y^{2} } } = \frac{-ay}{ x^{2} + y^{2} }}\)

\(\displaystyle{ B_{y} = Bcos \varphi = \frac{a}{ \sqrt{ x^{2} + y^{2} } } \frac{x}{r} = \frac{ax}{ x^{2} + y^{2} }}\)

\(\displaystyle{ F_{z} = \frac{ \partial }{ \partial x} \frac{ax}{ x^{2} + y^{2} } - \frac{ \partial }{ \partial y} \frac{-ay}{ x^{2} + y^{2} } =a \frac{ x^{2} + y^{2} -2 x^{2} }{( x^{2} + y^{2} )^{2} } -a \frac{-( y^{2} + x^{2} -2 y^{2} )}{( x^{2} + y^{2} )^{2} } =a \frac{ x^{2} + y^{2} -2 x^{2} }{( x^{2} + y^{2} )^{2} } +a \frac{ y^{2} + x^{2} -2 y^{2} }{( x^{2} + y^{2} )^{2} } =0}\)

Liczyłem już wiele razy i zawsze mi zero wychodzi. Proszę o pomoc.
Pozdrawiam.

djpierug pisze:\(\displaystyle{ a \frac{ y^{2} - x^{2} }{ ( x^{2} + y^{2} )^{2} } - a \frac{ x^{2} - y^{2} }{ ( x^{2} + y^{2} )^{2} } =0}\)

Czy aby na pewno?

Zedydowałem post, źle policzyłem pochodne. Teraz jest dobrze, ale to i tak nadal jest ZERO. Nie rozumiem. Proszę o dokładne sprawdzenie wyliczenia pochodnych. Albo teoria pola jest zła, albo ja(prawie na pewno) zrobiłem błąd.

djpierug pisze: \(\displaystyle{ \vec{F} =rot \vec{B} = [ F_{x} , F_{y} , F_{z} ]}\)

Skąd to się wzięło?

Wychodziz zero, ale tylko dla punktów na zewnatrz przewodu. A pole jest potencjalne, gdy w każdym punkcie rotacja jest zerem.

To w takim razie rozpatrzmy to pole czysto matematycznie. Załóżmy że pole działa nie w okół przewodu z prądem, lecz w okół prostej(sama matematyka). Wtedy w samym środku pole nie istnieje, ponieważ jest opisane wzorem \(\displaystyle{ B= \frac{ \mu I}{2 \pi r} = \frac{a}{r}}\), a więc \(\displaystyle{ r \neq 0}\).
Żeby pole było potencjalne wektor rotacji musi być równy \(\displaystyle{ 0}\) w każdym punkcie tego pola, a ten warunek jest spełniony, ponieważ w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,z)}\), gdzie \(\displaystyle{ z}\) - dowolne, pole nie istnieje. Dalej widzę sprzeczność.

Dla \(\displaystyle{ r\to 0}\) mamy \(\displaystyle{ B\to\infty}\), czyli natężenie pola na osi jest nieskończenie duże, a nie zerowe.

\(\displaystyle{ r \rightarrow 0}\), a nie \(\displaystyle{ r=0}\), a więc na osi nie ma pola. Pole isnieje nieskończenie blisko osi, ale punkty do których zaczepione są wektory pola nie leżą na niej. Poza tym nawet, gdy \(\displaystyle{ B \rightarrow \infty}\), rotacja dalej jest równa zero. \(\displaystyle{ r}\) dąży do zera, ale go nie osiąga, bo nie wolno dzielić przez zero, a więc pola nie ma na osi. Dalej widzę sprzeczność.

djpierug pisze:a więc na osi nie ma pola.

Nie "nie ma", tylko jest nieokreślone. Spróbuj zmienić model matematyczny. Rozważ przewodnik w kształcie walca i pewną gęstość prądu wewnątrz przewodnika.

Pola potencjalne, takie jak pole grawitacyjne też są nieokreślone w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\), więc ten argument nie działa. Znalazłem za to coś innego w podręczniku do analizy matematycznej, mianowicie: "Pole niewirowe w obszarze jednospójnym powierzchniowo zawsze jest potencjalne", a rozpatrywany przeze mnie obszar, w którym istnieje pole nie jest jednospójny powierzchniowo. Dlatego nie jest to pole potencjalne mimo zerowej wirowości w KAŻDYM jego punkcie rotacja jest równa zero.

Pozdrawiam.

Myślałem że chodzi o bezwirowość w całej przestrzeni. W obszarze rozłącznym z kablem rotacja jest zerowa (prawo Ampère'a). Jeśli ustalisz sobie jakiś jednospójny obszar rozłączny z kablem, to w tym obszarze możesz wprowadzić potencjał (chociaż nie widzę, do czego to mogłoby się przydać).

Tu chodziło o to, że uproszczenia typu punktowe ładunki, masy, nieskończenie cienkie przewody itp. mogą skutkować takimi nieskończonymi wartościami, a nie o to, że dlatego pole nie jest potencjalne. Nie znam twierdzenia, o którym piszesz, ale z samego faktu, że pole jest potencjalne w obszarze jednospójnym nie wynika logicznie, że w niejednospójnym nie jest. Zresztą to pole grawitacyjne jest właśnie potencjalne, choć obszar nie jest jednospójny.

octahedron pisze:Zresztą to pole grawitacyjne jest właśnie potencjalne, choć obszar nie jest jednospójny.

Przestrzeń trójwymiarowa bez jednego punktu jest jednospójna, tzn. każda pętla jest ściągalna.