Matematyka.pl

Mamy funkcję \(\displaystyle{ \ f(x+1)=f(f(x))}\), gdzie \(\displaystyle{ \ x}\) jest liczbą całkowitą.

Jakie funkcje spełniają ten warunek?
Poza \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\)

Funkcja stale równa zero.

Niekoniecznie zero, dowolna funkcja stała.

Czyli tylko \(\displaystyle{ \ f \left( x\right)= \ x+1}\) i funkcje stałe?

Można jakoś udowodnić, że żadne inne funkcje nie spełniają tego warunku?

Czy dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f}\) ma być \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) czy może być większa? W drugim przypadku można spokojnie wskazać jeszcze mnóstwo funkcji.

-- 26 kwi 2012, o 12:49 --

Zakładając że dziedzina to \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), można pokazać, że albo \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\), albo \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją od pewnego miejsca okresową. Kto wie, może coś się z tego da dalej wywnioskować.

norwimaj: możesz dać mi jakąś wskazówkę, jak by to udowodnić?

Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, to \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\). W przeciwnym razie istnieją \(\displaystyle{ x\ne y}\) takie że \(\displaystyle{ f(x)=f(y)}\) i wtedy \(\displaystyle{ f(x+1)=f(f(x))=f(f(y))=f(y+1)}\). Podobnie \(\displaystyle{ f(x+z)=f(y+z)}\) dla każdego dodatniego całkowitego \(\displaystyle{ z}\).

Ale nie mam pojęcia, czy to może się przydać do rozwiązania zadania.

-- 26 kwi 2012, o 23:03 --

Znalazłem jeszcze jedną rodzinę takich funkcji. Dla \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, \(\displaystyle{ f(x)=(x+1) \mod n}\).-- 26 kwi 2012, o 23:08 --Mogą być też bardziej skomplikowane, na przykład
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x+1&\text{dla }x<0\\(x+1)\mod4&\text{dla }x\ge0.\end{cases}}\)

To jest bardziej skomplikowane niż wydawało się na początku, ale dziękuję bardzo! Na funkcje z mod bym nie wpadł. To już chyba wszystkie możliwe - taką mam nadzieję

bananowiec666 pisze:To już chyba wszystkie możliwe - taką mam nadzieję

Jeszcze nie.

Samo działanie \(\displaystyle{ \mod n}\) polega na przypisaniu liczbie reprezentanta wyznaczonej przez nią klasy abstrakcji relacji \(\displaystyle{ x\sim_ny\iff n|x-y}\), przy czym standardowo bierzemy reprezentanty ze zbioru \(\displaystyle{ \{0,1,\ldots,n-1\}}\). Jeśli jednak zmienimy zbiór reprezentantów (selektor), to otrzymamy inne działanie modulo, które też się nadaje do konstrukcji funkcji \(\displaystyle{ f}\).

norwimaj: masz na myśli to, że to nie jest jedna funkcja modulo, tylko zbiór funkcji modulo? W sensie, że funkcje typu modulo?

Chodzi mi o to, że przykładem dobrej funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest

\(\displaystyle{ f(x)=
\begin{cases}
7&\text{dla }x\mod 3 = 0\\
2&\text{dla }x\mod 3 = 1\\
15&\text{dla }x\mod 3 = 2.
\end{cases}}\)

norwimaj: chyba rozumiem

Ostatnie pytanie i już cie wiecej nie męczę. Są jeszcze jakieś funkcje, które spełniają założenie?
Poza tymi okresowymi?

Nie znam odpowiedzi. Wydaje mi się, że możliwości są następujące:

• funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\),
• funkcje okresowe typu modulo, ale mogą być z innym selektorem niż \(\displaystyle{ \{0,1,\ldots,n-1\}}\),
• funkcje \(\displaystyle{ x\mapsto x+1}\) na pewnym przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,a)}\),
  okresowe j.w. na przedziale \(\displaystyle{ (a,\infty)}\), o wartościach w \(\displaystyle{ (a,\infty)}\)
  oraz spełniające \(\displaystyle{ f(a)\ge a}\), \(\displaystyle{ n|f(a)-a-1}\).

I tak bardzo dziękuję!