Matematyka.pl

Witam, proszę o pomoc w wyznaczeniu wyrazu na n-ty wyraz ciągu. Rozpisałem to wszystko ładnie, ale nie moge wyznaczyć

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a_{1}=1\\a_{n+1}=2a_{n}+1\end{array}\right.}\)

Pozdrawiam

[ Dodano: 21 Luty 2007, 21:49 ]
chyba rozkminiłem:
\(\displaystyle{ a_{n}=2^{n}-1}\)

tak dobrze rozkminiles ;D

Zauważamy, że:
\(\displaystyle{ a_{1}=1=2^{1} -1 \\ a_{2}=2+1=3=2^2 -1 \\ a_{3}= 6+1=7=2^3 -1 \\ a_{4}=14+1=15=2^4 -1}\)
Przypuszczamy więc, że \(\displaystyle{ a_{n}=2^n -1}\). Jednak musimy dowieść, że właśnie tak jest. W takim przypadku łatwo wykazać to indukcyjnie:
1.Dla n=1 teza jest spełniona.
2. Zał. ind.: \(\displaystyle{ a_{k}=2^k -1}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ a_{k+1}=2^{k+1} -1}\)
D-d:
\(\displaystyle{ a_{k+1}=2a_{k} +1=2( 2^k -1) +1=2^{k+1} -2+1=2^{k+1} -1}\)
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór ten jest prawdziwy dla każdej dodatniej liczby naturalnej.

To ja może nieco zwięźlej (choć w istocie to to samo):
Rozpatrzmy ciąg zdefiniowany następująco:
\(\displaystyle{ b_{n} = a_{n} + 1}\)
Dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) mamy:
\(\displaystyle{ b_{n+1} = a_{n+1} + 1 = 2a_{n} + 2 = 2(a_{n} + 1) = 2b_{n} = 2^{n}\cdot b_{1} = 2^{n}\cdot(a_{1} + 1) =2^{n+1}}\)
Stąd i z podanej wartości pierwszego wyrazu:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a_{n + 1} = b_{n + 1} - 1 = 2^{n + 1} - 1\\ a_{1} = 1\end{array}\right.}\)
I ostatecznie
\(\displaystyle{ a_{n} = 2^{n} - 1}\)