(3 zadania) Okrąg, styczne, parabola

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Tupek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 lis 2004, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

(3 zadania) Okrąg, styczne, parabola

Post autor: Tupek » 15 gru 2004, o 22:16

Mam trzy zadania z którymi nie potrafię dać sobie sam rady... ____________________________________________ [1.] Do okręgu o równaniu x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0 poprowadzono styczne równoległe do prostej 2x - y + 99 = 0. Oblicz współrzędne punktów styczności i napisz równania tych stycznych. ____________________________________________ [2.] Dane są 3 wierzchołki prostokąta A=(-5, -3) B=(-2, 0) C=(-7, 5). Napisz równanie okręgu opisanego na tym prostokącie oraz znajdź równanie stycznej do tego okręgu w punkcie D. ____________________________________________ [3.] Prosta równoległa do prostej o równaniu y=x-5 i przechodząca przez punkt D=(-1, 0) przecina parabole o równaniu y=x^2 - 2x - 3 w punktach A i B. Oblicz pole trójkąta ABC, gdzie C jest punktem przecięcia sie tej paraboli z osią OY. ____________________________________________ pierwsze zadanie - w tym dziale jest podobne zadanie jakoś na początku tego działu - ale jakoś delta kosmiczna mi wychodzi i nie wiem jak to zrobić drugie zadanie - obliczyłem równanie okręgu i wyszło mi (x+6)^2 + (y-1)^2=17 środek tego okręgu S=(-6, 1), promień= (pierwiastek z 17) z rysunku widać że punkt D=(-10, 2) ale jak go obliczyć to już nie wiem i jak obliczyc ta styczną?? trzeciego zadania - oprócz rysunku nie jestem w stanie wymyslić nic. ____________________________________________ Proszę o jaką kolwiek pomoc...

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

(3 zadania) Okrąg, styczne, parabola

Post autor: liu » 17 gru 2004, o 01:05

Trzecie zadanie - powoli i spokojnie:) 1) Wyznacz rownanie prostej rownoleglej do prostej y=x-5 przechodzacej przez punkt (-1,0). 2) Rozwiaz uklad rownan zlozony z rownania prostej wyliczonej w punkcie (1) i paraboli. Dostaniesz 2 punkty x1 i x2. Oblicz dla nich wartosci y z rownania prostej. To sa twoje punkty A i B. Punkt C odczytujesz z rownania paraboli - przeciecie z osia OY to x=0:) Jak juz to narysujesz, no to widzisz juz ten caly trojkat. Teraz masz kilka drog wyboru: 1) podstawiasz do wzoru z wyznacznikiem na pole trojkata majac dane wierzcholki, nerwicy dostaniesz z liczeniem 2) odrobinke pokombinowac - oblicz wspolrzedne wektorow AB i AC, nastepnie skorzystaj z faktu, ze: 3) Obliczyc odleglosci pomiedzy punktami A i B, A i C, badz B i C korzystajac ze znanego wzoru potem jakos sinus miedzy odpowiednimi prostymi i do wzoru , albo nawet jak sie uprzesz to do wzoru Herona gdzie p to połowa obwodu - drog masz mnostwo:) Takimi drobnymi kroczkami rozwiazesz to zadanie

Tupek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 lis 2004, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

(3 zadania) Okrąg, styczne, parabola

Post autor: Tupek » 17 gru 2004, o 13:20

pole wyszło mi 10 (jednostek kwadratowych) raczej dobrze skorzystałem ze wzoru na geometrie analityczna tzn ten pierwszy co napisałeś zajrzalem jeszcze do tablic i nie bylo problemu z wyliczeniem... w punkcie drugim liczac punkty przeciecia prostej z parabola ulozylem dw auklady równań: y=x^2-2x-3 y=x+1 y=x^2-2x-3 x=y-1 mam nadzieje ze ten sposób jest dozowolny dobra wezme sie za pozostale zadania...

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

(3 zadania) Okrąg, styczne, parabola

Post autor: liu » 17 gru 2004, o 13:53

No ale to przeciez jeden i ten sam uklad

Tupek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 lis 2004, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

(3 zadania) Okrąg, styczne, parabola

Post autor: Tupek » 17 gru 2004, o 15:10

w sumie tak ale chyba tak też można zrobić pozdrawiam i dzieki wielkie za pomoc a drugie zadanie i pierwsze ?? jakieś bardziej szczegółowe wskazówki??

Awatar użytkownika
olazola
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 811
Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot
Pomógł: 36 razy

(3 zadania) Okrąg, styczne, parabola

Post autor: olazola » 17 gru 2004, o 19:12

Ad.1 Wstępne równanie prostych stycznych ma postać y=2x+b (to z równoległości do prostej 2x-y+99) Następnie należy rozwiązać układ równań: \(\displaystyle{ \{x^2+y^2-2x-6y+5=0\\y=2x+b}\) W wyniku otrzymujemy: \(\displaystyle{ 5x^2+x\(4b-14\)+b^2-6b+5=0}\) Jest to równanie kwadratowe z parametrem. Ponieważ prosta ma byś styczna, czyli musi być jedno rozwiązanie, więc delta musi być równa 0: \(\displaystyle{ \Delta=b^2-2b-24\\b^2-2b-24=0\\b_{1}=6\;\;\;b_{2}=-4}\) Szukane równania stycznych to y=2x+6 y=2x-4 Zostały jeszcze do policzenia punkty wspólne, ale z tym już nie powinno być problemów, jak wiemy jakie rónania mają proste styczne.
Ostatnio zmieniony 13 sty 2005, o 10:30 przez olazola, łącznie zmieniany 1 raz.

Tupek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 lis 2004, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

(3 zadania) Okrąg, styczne, parabola

Post autor: Tupek » 17 gru 2004, o 20:24

W wyniku otrzymujemy: Jest to równanie kwadratowe z parametrem. Ponieważ prosta ma byś styczna, czyli musi być jedno rozwiązanie, więc delta musi być równa 0:
do tego miejsca wlasinie doszedłem sam i nie wiedzialem co dalej jak rozwiazac, tzn to "b" i skoro delta=0 to dlaczego masz dwa pierwiastki ?? bo z tego co ja sie uczylem gdy delta=0 to jest jeden pierwiastek ?? i jeszcze skad ta pierwsza delta ma taki wynik?? moge Cie prosic abys rozpisała jak obliczyłas ta delte?? albo chociazby jakbys wypisala wspolczynniki a,b,c z teg orownania kwadratowego, do tej delty to moze wtedy przejze na oczy dokladnie nie kumam twojego zapisu delta=b^2-2b-24 skad to sie wzielo Wielkie dzieki za pomoc Olu dalej styczne sobie wylicze tylko tej delty nie kumam skad takei b są pozdrawiam

Awatar użytkownika
olazola
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 811
Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot
Pomógł: 36 razy

(3 zadania) Okrąg, styczne, parabola

Post autor: olazola » 17 gru 2004, o 20:44

Chodzi tu o deltę dla tego równania o zmiennej x. W tym równaniu delta musi się równać 0, bo:
:arrow: jeśli delta<0 to okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych
:arrow: jeśli delta>0 to okrąg i prosta mają 2 punkty wspólne
:arrow: jeśli delata=0 to okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (styczna)

A to że z delty wychodzą dwa rozwiązania to nic nie ma do rzeczy bo przecież delata jest funkją kwadratową zmiennej b i mają prawo wyjść dwa rozwiązania, te rozwiązania mają się nijak do rozwiązań równania kwadratowego tego właściwego. I jeszcze jedno do obliczenia b1 i b2 należy obliczyć jeszcze jedną delte najlepiej oznaczyć ją sobie jako delta'.

Ad.zad2
[latex]\vec{AD}=\vec{BC}\\ \[x_D+5,y_D+3=[-7+2,5\]\\ x_D=-10\;\;\;y_D=2[/latex]

Następnie piszesz rówanie prostej przechodzącej przez środek i przez punkt D. Równanie stycznej będzie prostopadłe do danej prostej, i będzie ona przechodziła przez punkt D

ODPOWIEDZ