Matematyka.pl

Wyznaczyć przedziały zbieżności następującego szeregu :

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \sqrt{ n^{2} + 2 } - n }{ 3^{n} } \left( x-1\right) ^{n}}\)

No to trzeba policzyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \frac{ \sqrt{ n^{2} + 2 } - n }{ 3^{n} } }}\)
przyda się takie przekształcenie wynikające ze wzoru na różnicę kwadratów:
\(\displaystyle{ \sqrt{ n^{2} + 2 } - n = \frac{n^2+2-n^2}{ \sqrt{n^2+2} + n }}\)

No to dochodzę do czegoś takiego :

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sup \frac{ \sqrt[n]{2} }{3 \cdot \left( \sqrt{ n^{2}+2 } + n \right) ^{ \frac{1}{n} } }}\)

I jaka będzie tego granica ?

Pytanie powinno być czemu ta granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Ale to już powinnaś wiedzieć co i jak.

No ale sęk w tym, że w odp. mam \(\displaystyle{ R = left[ -2 ; 4
ight)}\)

\(\displaystyle{ R}\) to przedział zbieżności szeregu.

To skąd to ? :/ ?

A no stąd że promień zbieżności tego szeregu to w tym przypadku odwrotność granicy którą liczyliśmy czyli w naszym przypadku promień zbieżności to 3. Środkiem koła zbieżności jest liczba \(\displaystyle{ x_0=1}\) bo tam zeruje się wyrażenie \(\displaystyle{ (x-1)^n}\). Zatem nasz szereg jest zbieżny w kole o środku w punkcie 1 i promieniu 3, czyli wychodzi to co powinno.