Matematyka.pl

Witam mam problem z jednym przykładem, jest to całka oznaczona. Generalnie chodzi mi raczej tylko o pomoc przy calce trygonometrycznej która jest tu zawarta. Mam problem z podstawieniem owej całki. Czy za \(\displaystyle{ t}\) przyjać całe wyrazenie podpierwiastkowe? raczej mi to nie wychodzi w ten sposob wiec brakuje mi juz pomyslow.
Z gory dziekuje za pomoc.

\(\displaystyle{ \int_{0 }^{ \frac{ \pi }{2} } \sin x \sqrt{1+\cos ^{2}x } dx}\)

Najlepiej podstawic

\(\displaystyle{ \sqrt{1+\cos^{2}{x}}=t-\cos{x}}\)

Mozesz takze podstawic

\(\displaystyle{ t=\frac{\cos{x}}{\sqrt{1+\cos^{2}{x}}}}\)

ale dostaniesz nieco trudniejszy rozklad

Wpadlam na pewien pomysl prosze podpowiedziec czy dobry czy nie )
A więc czy moge z \(\displaystyle{ \sin x}\) zrobic \(\displaystyle{ \sqrt{1-\cos ^{2}x }}\)
a nastepnie skorzystac z wzorów skróconego mnożenia :
\(\displaystyle{ a^{2} - b^{2}}\)
Tylko ze potem dalej zostaje mi pierwiastek z \(\displaystyle{ 1-\cos ^4 x}\)... :/

-- 21 kwi 2012, o 15:13 --

bardzo dziekuje aczkolwiek pierwszy raz sie z czyms takim spotkałam.. raczej sama bym na to nie wpadła za zadne skarby swiata

katen1, korzystanie z jedynki tutaj niewiele da
Ten sinus powinien byc raczej potraktowany jako pochodna cosinusa
wszak podstawiajac korzystamy z pochodnej zlozenia

\(\displaystyle{ \int{\sin{x} \sqrt{1+\cos^{2}{x}} \mbox{d}x }\\
\sqrt{1+\cos^{2}{x}}=t-\cos{x}\\
1+\cos^{2}{x}=t^2-2t\cos{x}+\cos^{2}{x}\\
1=t^2-2t\cos{x}\\
2t\cos{x}=t^2-1\\
\cos{x}=\frac{t^2-1}{2t}\\
-\sin{x} \mbox{d}x =\frac{2t \cdot 2t-2\left( t^2-1\right) }{4t^2} \mbox{d}t\\
\sin{x} \mbox{d}x=- \frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t\\
\int{\sin{x}\sqrt{1+\cos^{2}{x}} \mbox{d}x}=- \frac{1}{4} \int{ \frac{\left( t^2+1\right)^2 }{t^3} \mbox{d}t }}\)

\(\displaystyle{ \int{\sin{x} \sqrt{1+\cos^{2}{x}} \mbox{d}x }\\
t= \frac{\cos{x}}{ \sqrt{1+\cos^{2}{x}} }\\
t^2= \frac{\cos^{2}{x}}{1+\cos^{2}{x}} \\
1-t^2= \frac{1}{1+\cos^{2}{x}} \\
\frac{1}{1-t^2}=1+\cos^{2}{x}\\
\frac{t^2}{1-t^2}=\cos^{2}{x}\\
t= \frac{\cos{x}}{ \sqrt{1+\cos^{2}{x}} }\\
\mbox{d}t= \frac{-\sin{x} \sqrt{1+\cos^{2}{x}}+ \frac{\sin{x}\cos^{2}{x}}{ \sqrt{1+\cos^{2}{x}} } }{1+\cos^{2}{x}} \mbox{d}x \\
\mbox{d}t =-\frac{\sin{x}}{\left( 1+\cos^2{x}\right) \sqrt{1+\cos^2{x}} } \mbox{d}x\\
\mbox{d}t =-\sin{x} \cdot \left( 1-t^2\right) \sqrt{1-t^2} \mbox{d}x\\
\sin{x} \mbox{d}x =- \frac{ \mbox{d}t}{\left( 1-t^2\right) \sqrt{1-t^2} }\\
\int{\sin{x} \sqrt{1+\cos^{2}{x}} \mbox{d}x }=-\int{ \frac{ \mbox{d}t}{\left( 1-t^2\right) \sqrt{1-t^2} } \cdot \frac{1}{ \sqrt{1-t^2} } }\\
\int{\sin{x} \sqrt{1+\cos^{2}{x}} \mbox{d}x }=-\int{ \frac{ \mbox{d}t}{\left( 1-t^2\right)^2 } }}\)

Dziekuję bardzo!
Zazdroszcze tego szybkiego rozróżnienia.
Pozwolę sobie skorzystac z rozwiązania pierwszego bo wydaje się bardziej przyswajalny )
Miłego dnia.. bez całek