Matematyka.pl

Witam

\(\displaystyle{ \int_{ \frac{5 \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{4} }x \cdot sin2x \mbox{d}x = - \frac{14 \pi }{4}}\)

Pytanie brzmi czy wynik jest poprawny ?

Mam wątpliwości czy rozumiem jak należy szukać wartości funkcji trygonometrycznych jeżeli przed ich argumentem jest np 2. Czy to oznacza że jeżeli szukam wartości dla \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) to muszę szukać dla \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) ?

Jeżeli się mylę proszę o wytłumaczenie sprawy.
Z góry dzięki.

Jest źle. Musisz to rozwiązać przez części.
Co do pytania - tak, jeśli \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}\) to masz \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{2}}\).

\(\displaystyle{ \int_{ \frac{5 \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{4} }x \cdot sin2x \mbox{d}x = - \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{5 \pi }{2} }x \cdot sin2x \mbox{d}x}\) - Zamieniam przedziały całkowania wyciągając minus, bo należy ustawić je po kolei tak aby ten na górze był większy
\(\displaystyle{ = \left|x-r->1; sin2x-c->-cos2x \right|}\) - różniczkuje i całkuje czynniki

\(\displaystyle{ = - \left[ x \cdot (-cos2x)\right]+ \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{5 \pi }{2} }cos2x \mbox{d}x= x \cdot cos2x+sin2x=\frac{5 \pi }{2} \cdot (-1)+0-( \frac{ \pi }{4} \cdot 0+1)=- \frac{5 \pi -2}{2}}\)

czy teraz mam rację ?

Nie, na przykład:
\(\displaystyle{ \int \sin 2x \mbox{d}x = - \frac{1}{2} \cos 2x dx}\)

Rzeczywiście, pośpiech jest wskazany przy łapaniu pcheł.
Dziękuje za pomoc.