Matematyka.pl

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(\displaystyle{ ABCS}\) jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) są rzutami punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ S}\) na przeciwległe ściany. Oblicz w jakim stosunku odcinek \(\displaystyle{ AE}\) dzieli odcinek \(\displaystyle{ SF}\), jeżeli ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem, którego sinus jest równy \(\displaystyle{ a}\).

Nazwijmy krawędź podstawy b. Teraz z trójkąta FSO, gdzie O jest środkiem krawędzi podstawy na której jest zbudowana ściana boczna z punktem E, mamy:

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{6H}{b\sqrt3}}\)

Gdzie H to wysokość ostrosłupa.
Stąd mamy H wyznaczone za pomocą b. Teraz z trójkąta AEO:
\(\displaystyle{ \tg (90^o-\alpha)=\ctg \alpha = \frac{3x}{b\sqrt3}}\)

Gdzie x to odcinek od punktu F do punktu przecięcia AE z SF. Oznaczmy jako y pozostałą część odcinka SF i stąd mamy:

\(\displaystyle{ y=H-x}\), gdzie oba czynniki mamy wyznaczone za pomocą b. Teraz nasz stosunek:

\(\displaystyle{ \frac{y}{x}=\frac{H-x}{x}}\), gdzie b się skróci i dostaniemy ułamek składający się z a i wartości liczbowych. Na szybko, jeżeli nie było błędów arytmetycznych, wyszło mi:

\(\displaystyle{ \frac{y}{x}=\frac{4a^2-1}{1-a^2}}\)